2.41 陰関数の高階導関数

例 2.181 (陰関数の高階偏導関数)   条件 $F(x,y)=0$ で定まる陰関数 $y=f(x)$ の高階導関数を求める． 条件 $F(x,y)=0$ の両辺を $x$ で微分すると

$$0=\frac{d}{dx}F(x,y)=F_x+F_yy'$$

となる．さらに微分すると

$$=\frac{d^2}{dx^2}F(x,y)= \frac{d}{dx}(F_x+F_yy')= \frac{d}{dx}F_x... ...d}{dx}(F_yy')= \frac{d}{dx}F_x+\left(\frac{d}{dx}F_y\right)y'+F_y\frac{d}{dx}y'$$ 0

$$= F_{xx}+F_{xy}y'+(F_{xy}+F_{yy}y')y'+F_yy'' = F_{xx}+2F_{xy}y'+F_{yy}y'{}^2+F_{y}y''$$

となるので，

$$y''&= -\frac{F_{xx}+2F_{xy}y'+F_{yy}y'{}^2}{F_y}= -\frac{F_{xx}+2F_{xy}\left(-\frac{F_x}{F_y}\right)+ F_{yy}\left(-\frac{F_x}{F_y}\right)^2}{F_y}$$

$$= -\frac{F_{xx}F_{y}{}^2-2F_{xy}F_xF_y+F_{yy}F_x{}^2}{F_y{}^3}$$

を得る．同様にして $y''',\cdots$ を求める．

例 2.182 (陰関数の高階偏導関数)   条件 $F(x,y,z)=0$ で定まる陰関数 $z=f(x,y)$ の高階偏導関数を求める． 条件 $F(x,y,z)=0$ の両辺を $x$ と $y$ で偏微分すると それぞれ

$$0=\frac{\partial}{\partial x}F(x,y,z)=F_x+F_zz_x, \qquad 0=\frac{\partial}{\partial y}F(x,y,z)=F_y+F_zz_y$$

となる． 第 1 式をさらに $x$ で偏微分すると

$$=\frac{\partial^2}{\partial x^2}F(x,y,z)= \frac{\partial}{\partia... ...eft(\frac{\partial}{\partial x}F_z\right)z_x+ F_z\frac{\partial}{\partial x}z_x$$ 0

$$= F_{xx}+F_{xz}z_{x}+(F_{zx}+F_{zz}z_{x})z_x+F_zz_{xx}= F_{xx}+2F_{xz}z_{x}+F_{zz}z_{x}{}^2+F_zz_{xx}$$

となるので，

$$z_{xx}=-\frac{F_{xx}+2F_{xz}z_{x}+F_{zz}z_{x}{}^2}{F_z}= -\frac{F_{xx}F_z{}^2-2F_{xz}F_{x}F_{z}+F_{zz}F_{x}{}^2}{F_z{}^3}$$

を得る． 第 1 式をさらに $y$ で偏微分すると

$$=\frac{\partial^2}{\partial y\partial x}F(x,y,z)= \frac{\partial}... ...eft(\frac{\partial}{\partial y}F_z\right)z_x+ F_z\frac{\partial}{\partial y}z_x$$ 0

$$= F_{xy}+F_{xz}z_y+(F_{zy}+F_{zz}z_y)z_x+F_zz_{xy} = F_{xy}+F_{yz}z_x+F_{xz}z_y+F_{zz}z_xz_y+F_zz_{xy}$$

となるので，

$$z_{xy}=-\frac{F_{xy}+F_{yz}z_x+F_{xz}z_y+F_{zz}z_xz_y}{F_z}= -\frac{F_{xy}F_{z}{}^2-F_{yz}F_xF_z-F_{xz}F_yF_z+F_{zz}F_xF_y}{F_z{}^3}$$

を得る． 第 2 式をさらに $y$ で偏微分すると

$$=\frac{\partial^2}{\partial y^2}F(x,y,z)= \frac{\partial}{\partia... ...eft(\frac{\partial}{\partial y}F_z\right)z_y+ F_z\frac{\partial}{\partial y}z_y$$ 0

$$= F_{yy}+F_{yz}z_y+(F_{zy}+F_{zz}z_y)z_y+F_zz_{yy} = F_{yy}+2F_{yz}z_y+F_{zz}z_y{}^2+F_{z}z_{yy}$$

となるので，

$$z_{yy}=-\frac{F_{yy}+2F_{yz}z_y+F_{zz}z_y{}^2}{F_z}= -\frac{F_{yy}F_z{}^2-2F_{yz}F_yF_z+F_{zz}F_y{}^2}{F_z{}^3}$$

を得る． 同様にして $z_{xxx},\cdots$ を求める．

平成21年12月2日