2.42 接平面

注意 2.183 (曲面の法線ベクトル)   曲面 $ F(x,y,z)=0$ 上の曲線を パラメータ表示して $ (x(t),y(t),z(t))$ とおく. このとき,

$\displaystyle F(x(t),y(t),z(t))=0$    

が成り立つ.両辺を $ t$ で微分すると

0 $\displaystyle =\frac{d}{dt}F(x(t),y(t),z(t))= \frac{\partial F}{\partial x}\fra...
...partial F}{\partial y}\frac{dy}{dt}+ \frac{\partial F}{\partial z}\frac{dz}{dt}$    
  $\displaystyle = F_x(x,y,z)x'(t)+ F_y(x,y,z)y'(t)+ F_z(x,y,z)z'(t)$    

となる.ベクトル表記すると

$\displaystyle \nabla F(\vec{x})\cdot \vec{x}'(t)=0$    

である. $ \nabla F(\vec{x})$ は 曲線 $ \vec{x}(t)$ の接ベクトルと常に直交する.

曲面 $ F=0$ 上の点 $ (a,b,c)$ において, この点を通るあらゆる曲線 $ (x(t),y(t),z(t))$ を考える. 便宜上 $ x(0)=a$, $ y(0)=b$, $ z(0)=c$ とおく. あるベクトル $ \vec{n}$ が この曲線の接ベクトル $ \vec{x}'(0)$ と常に直交するとする. このとき,$ \vec{n}$ を 曲面 $ F=0$法線ベクトルという. 曲線の接ベクトル $ \vec{x}'(0)$ に 直交するベクトルは $ \nabla F$ であるから, 法線ベクトルは $ \vec{n}=\nabla F(\vec{a})$ である.

定理 2.184 (接平面)   曲面 $ F(x,y,z)=0$ の点 $ (a,b,c)$ における 接平面(tangent plane)

$\displaystyle F_x(a,b,c)(x-a)+ F_y(a,b,c)(y-b)+ F_z(a,b,c)(z-c)=0$    

で与えられる.ベクトルで表記すると

$\displaystyle \nabla F(\vec{a})\cdot (\vec{x}-\vec{a})=0$    

となる.

注意 2.185 (接平面)   グラフ $ z=f(x,y)$ の点 $ (a,b)$ における接平面は, $ F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$ とおき接平面を求めればよい. $ F_x=f_x$, $ F_y=f_y$, $ F_z=-1$ であるか,

$\displaystyle f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)-(z-f(a,b))=0$    

となり,接平面は

$\displaystyle z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$    

と表される. この右辺は関数 $ f(x,y)$ の 点 $ (a,b)$ まわりのテイラー展開の 1 次近似と等しい.

2.186 (接平面)   球 $ F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0$ の点 $ (x_0,y_0,z_0)$ における 接平面を求める.

$\displaystyle F_x=2x, \quad F_y=2y, \quad F_z=2z, \quad F_x(x_0,y_0,z_0)=2x_0, \quad F_y(x_0,y_0,z_0)=2y_0, \quad F_z(x_0,y_0,z_0)=2z_0$    

より,接平面は

  $\displaystyle F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+ F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+ F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$    
  $\displaystyle \quad\Rightarrow\quad 2x_0(x-x_0)+ 2y_0(x-y_0)+ 2z_0(x-z_0)=0$    
  $\displaystyle \quad\Rightarrow\quad x_0x+y_0y+z_0z-(x_0^2+y_0^2+z^2)=0 \quad\Rightarrow\quad x_0x+y_0y+z_0z=1$    

と求まる. 法線ベクトルが $ \displaystyle{{\begin{bmatrix}x_0 & y_0 & z_0 \end{bmatrix}}^T}$ の 平面である.

2.187 (接平面)   曲面 $ x^2+3xy-2yz+xz+z^2=11$ の 点 $ (2,1,-1)$ における接平面の方程式を求める. まず,曲面の方程式を書き直して

$\displaystyle F(x,y,z)=x^2+3xy-2yz+xz+z^2-11=0$    

とする.

  $\displaystyle F_x=2x+3y+z, \quad F_y=3x-2z, \quad F_z=-2y+x+2z,$    
  $\displaystyle F_x(2,1,-1)=6, \quad F_y(2,1,-1)=8, \quad F_z(2,1,-1)=-2,$    

より,接平面は

$\displaystyle 6(x-2)+8(y-1)-2(z+1)=0 \quad\Rightarrow\quad 3x+4y-z=11$    

である. 法線ベクトルが $ \displaystyle{{\begin{bmatrix}3 & 4 & -1 \end{bmatrix}}^T}$ の 平面である.書き直して

$\displaystyle \frac{x}{\frac{11}{3}}+ \frac{y}{\frac{11}{4}}+ \frac{z}{-11}=1$    

とする. 平面と $ x$ 軸,$ y$ 軸,$ z$ 軸との交点はそれぞれ $ x=11/3$, $ y=11/4$, $ z=-11$ である.

2.188 (接平面)   曲面

$\displaystyle F(x,y,z)=x^2+3xy-2yz+xz+z^2-3=0$    

の点 $ (2,0,-1)$ における接平面を求める. まず,

  $\displaystyle F_x=2x+3y+z, \quad F_y=3x-2z, \quad F_z=-2y+x+2z,$    
  $\displaystyle F_x(2,0,-1)=3, \quad F_y(2,0,-1)=8, \quad F_z(2,0,-1)=0,$    

より,接平面は

$\displaystyle 3(x-2)+8(y-0)+0(z+1)=0 \quad\Rightarrow\quad 3x+8y-6=0$    

である. 法線ベクトルが $ \displaystyle{{\begin{bmatrix}3 & 8 & 0 \end{bmatrix}}^T}$ の 平面である.書き直して

$\displaystyle \frac{x}{2}+ \frac{y}{\frac{3}{4}}=1$    

とする. 平面と $ x$ 軸,$ y$ 軸との交点はぞれぞれ $ x=2$, $ y=\frac{3}{4}$ である. $ z$ 軸とは交点をもたず, $ z$ 軸と平行な平面である.

2.189 (接平面)   関数 $ z=f(x,y)=4x^2y+xy^3$ の点 $ (-1,1)$ における接平面は,

$\displaystyle f_x=8xy+y^3, \quad f_y=4x^2+3xy^2, \quad f(-1,1)=3, \quad f_x(-1,1)=-7, \quad f_y(-1,1)=1$    

より,

$\displaystyle z$ $\displaystyle = f(-1,1)+f_x(-1,1)(x+1)+f_y(-1,1)(y-1)= 3-7(x+1)+(y-1)=-7x+y-5$    

と得られる. 接平面を標準形で書くと

$\displaystyle 7x-y+z+5=0$    

である.この平面の法線ベクトルは $ \displaystyle{{\begin{bmatrix}7 & -1 & 1 \end{bmatrix}}^T}$ である. また,

$\displaystyle \frac{x}{-\frac{5}{7}}+ \frac{y}{5}+ \frac{z}{-5}=1$    

と書き直す. 平面と $ x$ 軸,$ y$ 軸,$ z$ 軸の交点は $ x=-\frac{5}{7}$, $ y=5$, $ z=-5$ である.


平成21年12月2日