2.50 演習問題 〜 極値

問 2.231 (極値)   次の関数 $f(x,y)$ の極値をすべて求めよ．
    (1)   $f(x,y)=x^2+y^2$     (2)   $f(x,y)=x^4+y^4$     (3)   $f(x,y)=x^2-y^2$     (4)   $f(x,y)=x^2+y^3$
    (5)   $f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y+10$     (6)   $f(x,y)=x^3+y^3+3xy+2$
    (7)   $f(x,y)=1-2x^2-xy-y^2+2x-3y$     (8)   $f(x,y)=x^2-2xy+y^2-x^4-y^4$
    (9)   $f(x,y)=x^2/2+y^2$     (10)   $f(x,y)=x^2/2-y^2$     (11)   $f(x,y)=x^2+xy+y^2$
    (12)   $f(x,y)=x^2+2xy+2y^2$     (13)   $f(x,y)=x^2+2xy-2y^2$     (14)   $f(x,y)=-x^2-2xy+y^2$
    (15)   $f(x,y)=-x^2+2xy-3y^2$     (16)   $f(x,y)=x^2/a^2+y^2/b^2$
    (17)   $f(x,y)=x^2+xy+2y^2-4y$     (18)   $f(x,y)=x^2-xy+y^2+2x-y+7$
    (19)   $f(x,y)=x^2+2xy+2y^2-2x-2y+1$     (20)   $f(x,y)=x^2-2xy-2y^2+2x+2y+2$
    (21)   $f(x,y)=-x^2+2xy-3y^2+2x+2y+3$     (22)   $f(x,y)=x^2-y^3$     (23)   $f(x,y)=x^2+y^2+y^3$
    (24)   $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$     (25)   $f(x,y)=x^2+y^2+y^3$     (26)   $f(x,y)=x^3-9xy+y^3$
    (27)   $f(x,y)=-x^3+3xy-y^3$     (28)   $f(x,y)=x^3+2xy-x-2y$
    (29)   $f(x,y)=x^3+y^3+x^2+2xy+y^2$     (30)   $f(x,y)=x^4-y^4$
    (31)   $f(x,y)=x^4+y^2+2x^2-4xy+1$     (32)   $f(x,y)=x^4+y^4-x^2+2xy-y^2$
    (33)   $f(x,y)=\sinh(xy)$     (34)   $f(x,y)=e^{x+y}$     (35)   $f(x,y)=e^{-(2x^2+3y^2)}$

問 2.232 (陰関数の極値)   次の条件で定められる陰関数 $y=f(x)$ の極値をすべて求めよ．
    (1)   $x^2+xy+2y^2=1$     (2)   $x^2-xy+y^3=7$

問 2.233 (条件付き極値)   次の条件 $g(x,y)=0$ のもとでの関数 $f(x,y)$ の極値をすべて調べよ．
    (1)   $g(x,y)=x^2/9+y^2/4-1=0$,     $f(x,y)=x^2-y^2$
    (2)   $g(x,y)=x^2-y^2/4-1=0$,     $f(x,y)=x^3+y$
    (3)   $g(x,y)=x^2+y^2-a^2=0$,     $f(x,y)=2xy$
    (4)   $g(x,y)=x^2+y^2-2=0$,     $f(x,y)=y-x$
    (5)   $g(x,y)=x^2+2y^2-1=0$,    $f(x,y)=xy$
    (6)   $g(x,y)=xy-1=0$,     $f(x,y)=x^2+y^2$
    (7)   $g(x,y)=x^2+y^2-1=0$,     $f(x,y)=x+2y$
    (8)   $g(x,y)=x^2+2y^2-1=0$,    $f(x,y)=xy$
    (9)   $g(x,y)=xy-1=0$,     $f(x,y)=x^2+y^2$
    (10)   $${g(x,y)=x^2-\frac{1}{4}y^2-1=0}$$,     $f(x,y)=x^3+y$
    (11)   $g(x,y)=x^2+y^2-2=0$,     $f(x,y)=y-x$
    (12)   $g(x,y)=x^2+y^2-1=0$,     $f(x,y)=2x+3y$
    (13)   $g(x,y)=x^2+y^2-2=0$,    $f(x,y)=xy$
    (14)   $g(x,y)=x^2+y^2-1=0$,     $f(x,y)=4x^2+4xy+y^2$
    (15)   $g(x,y)=x^2+y^2-1=0$,     $f(x,y)=2x^2-2\sqrt{2}xy+y^2$
    (16)   $g(x,y)=x^2+y^2-1=0$,     $f(x,y)=3x^2+2\sqrt{2}xy+2y^2$
    (17)   $g(x,y)=x^2+y^2-1=0$,     $f(x,y)=3x^2+2\sqrt{3}xy+y^2$

問 2.234 (領域内の最大値，最小値)   次の関数 $f(x,y)$ の領域 $D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq1}\,\right\}$ における 最大値，最小値を求めよ．
    (1)   $f(x,y)=x^2+xy+y^2$     (2)   $f(x,y)=x^2+y^2-x-y$

平成21年12月2日