2.49 ラグランジュの未定乗数法

定理 2.227 (ラグランジュの未定乗数法)   条件 $g(x,y)=0$ のもとでの関数 $f(x,y)$ の極値の候補は， $F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$ とおき， $(x,y,\lambda)$ についての連立方程式

$$F_x(x,y,\lambda)=0, \quad F_y(x,y,\lambda)=0, \quad F_\lambda(x,y,\lambda)=0$$

を解くことで得られる． これを ラグランジュの未定乗数法（Lagrange multiplier method） という．

（証明）     条件 $g(x,y)=0$ より $x$ と $y$ は独立ではないから， 陰関数 $y=\varphi(x)$, $x=\psi(y)$ が存在する． この陰関数の導関数はそれぞれ

$$\frac{dy}{dx}=\varphi'(x)= -\frac{g_x(x,y)}{g_y(x,y)} g_y\neq 0 ,$$

$$\frac{dx}{dy}=\psi'(y)= -\frac{g_y(x,y)}{g_x(x,y)} g_x\neq 0$$

となる． $x$ または $y$ のどちらかが従属変数であるとき， 関数 $f(x,y)$ は 1 変数関数

$$p(x)=f(x,\varphi(x)), \qquad q(y)=f(\psi(y),y)$$

とみなされる． ここで， 関数 $f(x,y)$ が点 $(a,b)$ で極値をもつとする． このとき $p'(a)=0$, $q'(b)=0$ が成り立つ． $p'(a)=0$ より，

$$=p'(a)= f_{x}(a,b)+f_{y}(a,b)\varphi'(a)= f_{x}(a,b)-f_{y}(a,b)\frac{g_x(a,b)}{g_y(a,b)}$$ 0

$$= \frac{f_{x}(a,b)g_{y}(a,b)-f_{y}(a,b)g_{x}(a,b)}{g_{y}(a,b)}= f_{x}(a,b)-\frac{f_y(a,b)}{g_y(a,b)}g_{x}(a,b)$$

となり， $q'(b)=0$ より

$$=q'(b)= f_{x}(a,b)\psi'(y)+f_{y}(a,b)= -f_{x}(a,b)\frac{g_y(a,b)}{g_{x}(a,b)}+f_{y}(a,b)$$ 0

$$= \frac{f_{x}(a,b)g_{y}(a,b)-f_{y}(a,b)g_{x}(a,b)}{-g_{x}(a,b)}= f_{y}(a,b)-\frac{f_{x}(a,b)}{g_{x}(a,b)}g_{y}(a,b)$$

が成り立つ． よって，この 2 つの式は 同じ 1 つの式

$$( )\qquad f_x(a,b)g_y(a,b)-f_y(a,b)g_x(a,b)=0$$

となる． この方程式を解くことで極値の候補 $(a,b)$ が定まる． しかし，この方程式のままでは解くのが難しい． 次のように式変形する． (☆)を変形して

$$\lambda= \frac{f_x(a,b)}{g_x(a,b)}= \frac{f_y(a,b)}{g_y(a,b)}$$

とおく． これをもとの 2 つの式へそれぞれ代入して

$$f_x(a,b)-\lambda g_x(a,b)=0, \qquad f_y(a,b)-\lambda g_y(a,b)=0$$

を得る． ここで $\lambda$ も未知変数であると考えて， 条件 $g(x,y)=0$ とあわせて， $(a,b,\lambda)$ についての連立方程式とみなす． $F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$ とおけば， この 3 つの方程式は $F_x=0$, $F_y=0$, $F_\lambda=0$ と表される．

例 2.228 (条件付き極値)   条件 $${g(x,y)=\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-1=}0$$ のもとでの 関数 $f(x,y)=x^2-y^2$ の 極値を求める． まず，

$$F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)= x^2-y^2-\lambda\left(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-1\right)$$

とおく．このとき連立方程式

$$F_x=2x-\frac{2\lambda}{9}x=0, \quad F_y=-2y-\frac{2\lambda}{4}y=0, \quad F_\lambda=-g= -\left(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-1\right)=0$$

を考える．これをまとめると

$$x(\lambda-9)=0, \quad y(\lambda+4)=0, \quad \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$

となる． $x=0$ のとき第 3 式より $y=\pm 2$ であり， 第 2 式より $\lambda=-4$ となる． $y=0$ のとき第 3 式より $x=\pm 3$ であり， 第 1 式より $\lambda=9$ となる． $\lambda=9$ のとき 第 2 式より $y=0$ であり， 第 3 式より $x=\pm 3$ となる． $\lambda=-4$ のとき 第 1 式より $x=0$ であり， 第 3 式より $y=\pm 2$ となる． よって連立方程式の解は

$$(x,y,\lambda)= (0,\pm2,-4), (\pm 3,0,9)$$

となる．極値の候補となる点は

$$(x,y)=(0,\pm2),(\pm 3,0)$$

である． これらの点が極値であるか確認する． 条件 $g(x,y)=0$ により定まる 2 つの 陰関数をそれぞれ $y=\varphi(x)$, $x=\psi(y)$ とおく． これらの導関数は

$$\frac{dy}{dx}=\varphi'(x)=-\frac{g_x}{g_y}=-\frac{4x}{9y} \quad( y\neq 0 ),$$

$$\frac{dx}{dy}=\psi'(y)=-\frac{g_y}{g_x}=-\frac{9y}{4x} \quad( x\neq 0 )$$

となる． また，合成関数 $p(x)=f(x,\varphi(x))$, $q(x)=f(\psi(y),y)$ の 導関数はそれぞれ

$$p'(x) =\frac{d}{dx}f(x,\varphi(x))= f_x(x,y)\frac{dx}{dx}+f_y(x,y)\frac{dy}{dx} = f_x(x,y)+f_y(x,y)\varphi'(x)$$

$$= 2x-2y\left(-\frac{4x}{9y}\right)=\frac{26}{9}x \quad( y\neq 0 ),$$

$$q'(y) =\frac{d}{dy}f(\psi(y),y)= f_x(x,y)\frac{dx}{dy}+f_y(x,y)\frac{dy}{dy} = f_x(x,y)\psi'(y)+f_y(x,y)$$

$$= 2x\left(-\frac{9y}{4x}\right)-2y=-\frac{13}{2}y \quad( x\neq 0 )$$

となる．さらに微分すると

$$p''(x)= \frac{d^2}{dx^2}f(x,\varphi(x))= \frac{d}{dx}\left(\frac{26}{9}x\right)= \frac{26}{9}>0 \quad( y\neq 0 ),$$

$$q''(y)= \frac{d^2}{dy^2}f(\psi(y),y)= \frac{d}{dy}\left(-\frac{13}{2}y\right)= -\frac{13}{2}<0 \quad( x\neq 0 )$$

となる． よって， $(x,y)=(0,\pm2)$ のとき，$x=0$ となるから $p(x)$ を用いて

$$p'(0)=0, \quad p''(0)=\frac{26}{9}>0$$

となるので， $f(0,\pm2)=-4$ は極小値である． また， $(x,y)=(\pm3,0)$ のとき， $y=0$ となるから $q(x)$ を用いて

$$q'(0)=0, \quad q''(0)=-\frac{13}{2}<0$$

となるので， $f(\pm3,0)=9$ は極大値である．

例 2.229 (条件付き極値)   条件 $${g(x,y)=x^2-\frac{y^2}{4}-1=}0$$ のもとでの 関数 $f(x,y)=x^3+y$ の極値を求める． まず，

$$F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)= x^3+y-\lambda\left(x^2-\frac{y^2}{4}-1\right)$$

とおく．このとき連立方程式

$$F_x=3x^2-2\lambda x=0, \quad F_y=1+\frac{2\lambda}{4}y=0, \quad F_\lambda=-g= -\left(x^2-\frac{y^2}{4}-1\right)=0$$

を考える．これをまとめると

$$x(3x-2\lambda)=0, \quad \lambda y+2=0, \quad x^2-\frac{y^2}{4}=1$$

となる． 第 1 式より $x=0$ とする． このとき第 3 式より $y=\pm\sqrt{-4}$ となり 実数解をもたないので不適である． 第 1 式より $${x=\frac{2\lambda}{3}}$$ とする． このとき， $\lambda\neq0$ である． なぜなら，$\lambda=0$ とすると $x=0$ となるからである． よって第 2 式より $${y=-\frac{2}{\lambda}}$$ である．

$$x=\frac{2\lambda}{3}, \qquad y=-\frac{2}{\lambda}$$

を第 3 式に代入すると

$$(4\lambda^2+3)(\lambda^2-3)=0$$

となる．実数の範囲内の解は

$$\lambda=\pm\sqrt{3}$$

である． 以上より，連立方程式の解は

$$(x,y,\lambda)= \left( \pm\frac{2}{\sqrt{3}}, \mp\frac{2}{\sqrt{3}}, \pm\sqrt{3} \right)$$

となる．極値の候補となる点は

$$(x,y)= \left( \frac{2}{\sqrt{3}}, -\frac{2}{\sqrt{3}} \right), \left( -\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}} \right)$$

である． これらの点が極値であるか確認する． 条件 $g(x,y)=0$ により定まる陰関数を $y=\varphi(x)$ とおく． この導関数は

$$\frac{dy}{dx}=\varphi'(x)=-\frac{g_x}{g_y}=\frac{4x}{y} \quad( y\neq 0 )$$

となる． また，合成関数 $p(x)=f(x,\varphi(x))$ の導関数は $y\neq 0$ のとき

$$p'(x) =\frac{d}{dx}f(x,\varphi(x))= f_x(x,y)\frac{dx}{dx}+f_y(x,y)\frac{dy}{dx}= f_x(x,y)+f_y(x,y)\varphi'(x)= 3x^2+\frac{4x}{y}$$

となる．さらに微分すると

$$p''(x) = \frac{d^2}{dx^2}f(x,\varphi(x))= \frac{d}{dx}\left(3x^2+\frac{4... ...right)= 6x+\frac{4}{y}-\frac{4x\varphi'}{y^2}= 6x+\frac{4}{y}-\frac{16x^2}{y^3}$$

$$= 6x-\frac{16}{y^3}\left(x^2-\frac{y^2}{4}\right)= 6x-\frac{16}{y^3}$$

となる． よって， $${ (x,y)=\left(\frac{2}{\sqrt{3}},-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}$$ のとき，

$$p'\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=0, \qquad p''\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=10\sqrt{3}>0$$

となるので， $${ f\left(\frac{2}{\sqrt{3}},-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{3\sqrt{3}}}$$ は極小値であり， $${ (x,y)=\left(-\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}$$ のとき，

$$p'\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=0, \qquad p''\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=-10\sqrt{3}<0$$

となるので， $${ f\left(-\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{2}{3\sqrt{3}}}$$ は極大値である．

例 2.230 (条件付き極値)   条件 $${g(x,y)=x^2+y^2-a^2=}0$$ ($a>0$) のもとでの 関数 $f(x,y)=2xy$ の極値を求める． まず，

$$F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)= 2xy-\lambda(x^2+y^2-a^2)$$

とおく．このとき連立方程式

$$F_x=2y-2\lambda x=0, \quad F_y=2x-2\lambda y=0, \quad F_\lambda=-g=-(x^2+y^2-a^2)=0$$

を考える．これをまとめると

$$y-\lambda x=0, \quad x-\lambda y=0, \quad x^2+y^2=a^2$$

となる． 第 1 式より $y=\lambda x$ を第 2 式に代入して

$$(1-\lambda^2)x=0$$

となる． $x=0$ のとき，第 1 式では $y=0$ となり， 第 3 式では $y=\pm a$ となる． これは矛盾するので不適である． $\lambda=1$ のとき，$y=x$ であり 第 3 式から $${x=\pm\frac{a}{\sqrt{2}}}$$ となる． $\lambda=-1$ のとき，$y=-x$ であり 第 3 式から $${x=\pm\frac{a}{\sqrt{2}}}$$ となる． 以上より，連立方程式の解は

$$(x,y,\lambda)= \left( \pm\frac{a}{\sqrt{2}}, \pm\frac{a}{\sqrt{2}}, 1 \right), \left( \pm\frac{a}{\sqrt{2}}, \mp\frac{a}{\sqrt{2}}, -1 \right)$$

となる．極値の候補となる点は

$$(x,y)= \left( \frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}} \right), \le... ...ac{a}{\sqrt{2}} \right), \left( -\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}} \right)$$

である． これらの点が極値であるか確認する． 条件 $g(x,y)=0$ により定まる陰関数を $y=\varphi(x)$ とおく． この導関数は

$$\frac{dy}{dx}=\varphi'(x)=-\frac{g_x}{g_y}=-\frac{x}{y} \quad( y\neq 0 )$$

となる． また，合成関数 $p(x)=f(x,\varphi(x))$ の導関数は $y\neq 0$ のとき

$$p'(x) =\frac{d}{dx}f(x,\varphi(x))= f_x(x,y)\frac{dx}{dx}+f_y(x,y)\frac{dy}{dx}= f_x(x,y)+f_y(x,y)\varphi'(x)= 2y-\frac{2x^2}{y}$$

となる．さらに微分すると

$$p''(x) = \frac{d^2}{dx^2}f(x,\varphi(x))= \frac{d}{dx}\left(2y-\frac{2x^... ...2\varphi'-\frac{4x}{y}+\frac{2x^2\varphi'}{y^2}= -\frac{6x}{y}-\frac{2x^3}{y^3}$$

となる． よって， $${ (x,y)=\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}},\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)}$$ のとき，

$$p'\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=0, \qquad p''\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=-8<0$$

となるので， $${ f\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}},\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=a^2}$$ は極大値である． $${ (x,y)=\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}},\mp\frac{a}{\sqrt{2}}\right)}$$ のとき，

$$p'\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=0, \qquad p''\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=8>0$$

となるので， $${ f\left( \pm\frac{a}{\sqrt{2}}, \mp\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=-a^2}$$ は極小値である．

平成21年12月2日