2.49 ラグランジュの未定乗数法

定理 2.227 (ラグランジュの未定乗数法)   条件 $ g(x,y)=0$ のもとでの関数 $ f(x,y)$ の極値の候補は, $ F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$ とおき, $ (x,y,\lambda)$ についての連立方程式

$\displaystyle F_x(x,y,\lambda)=0, \quad F_y(x,y,\lambda)=0, \quad F_\lambda(x,y,\lambda)=0$    

を解くことで得られる. これを ラグランジュの未定乗数法(Lagrange multiplier method) という.


(証明)     条件 $ g(x,y)=0$ より $ x$$ y$ は独立ではないから, 陰関数 $ y=\varphi(x)$, $ x=\psi(y)$ が存在する. この陰関数の導関数はそれぞれ

  $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\varphi'(x)= -\frac{g_x(x,y)}{g_y(x,y)}$   (ただし,$ g_y\neq 0$$\displaystyle ,$    
  $\displaystyle \frac{dx}{dy}=\psi'(y)= -\frac{g_y(x,y)}{g_x(x,y)}$   (ただし,$ g_x\neq 0$    

となる. $ x$ または $ y$ のどちらかが従属変数であるとき, 関数 $ f(x,y)$ は 1 変数関数

$\displaystyle p(x)=f(x,\varphi(x)), \qquad q(y)=f(\psi(y),y)$    

とみなされる. ここで, 関数 $ f(x,y)$ が点 $ (a,b)$ で極値をもつとする. このとき $ p'(a)=0$, $ q'(b)=0$ が成り立つ. $ p'(a)=0$ より,

0 $\displaystyle =p'(a)= f_{x}(a,b)+f_{y}(a,b)\varphi'(a)= f_{x}(a,b)-f_{y}(a,b)\frac{g_x(a,b)}{g_y(a,b)}$    
  $\displaystyle = \frac{f_{x}(a,b)g_{y}(a,b)-f_{y}(a,b)g_{x}(a,b)}{g_{y}(a,b)}= f_{x}(a,b)-\frac{f_y(a,b)}{g_y(a,b)}g_{x}(a,b)$    

となり, $ q'(b)=0$ より

0 $\displaystyle =q'(b)= f_{x}(a,b)\psi'(y)+f_{y}(a,b)= -f_{x}(a,b)\frac{g_y(a,b)}{g_{x}(a,b)}+f_{y}(a,b)$    
  $\displaystyle = \frac{f_{x}(a,b)g_{y}(a,b)-f_{y}(a,b)g_{x}(a,b)}{-g_{x}(a,b)}= f_{y}(a,b)-\frac{f_{x}(a,b)}{g_{x}(a,b)}g_{y}(a,b)$    

が成り立つ. よって,この 2 つの式は 同じ 1 つの式

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad f_x(a,b)g_y(a,b)-f_y(a,b)g_x(a,b)=0$    

となる. この方程式を解くことで極値の候補 $ (a,b)$ が定まる. しかし,この方程式のままでは解くのが難しい. 次のように式変形する. (☆)を変形して

$\displaystyle \lambda= \frac{f_x(a,b)}{g_x(a,b)}= \frac{f_y(a,b)}{g_y(a,b)}$    

とおく. これをもとの 2 つの式へそれぞれ代入して

$\displaystyle f_x(a,b)-\lambda g_x(a,b)=0, \qquad f_y(a,b)-\lambda g_y(a,b)=0$    

を得る. ここで $ \lambda$ も未知変数であると考えて, 条件 $ g(x,y)=0$ とあわせて, $ (a,b,\lambda)$ についての連立方程式とみなす. $ F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$ とおけば, この 3 つの方程式は $ F_x=0$, $ F_y=0$, $ F_\lambda=0$ と表される.

2.228 (条件付き極値)   条件 $ \displaystyle{g(x,y)=\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-1=}0$ のもとでの 関数 $ f(x,y)=x^2-y^2$ の 極値を求める. まず,

$\displaystyle F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)= x^2-y^2-\lambda\left(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-1\right)$    

とおく.このとき連立方程式

$\displaystyle F_x=2x-\frac{2\lambda}{9}x=0, \quad F_y=-2y-\frac{2\lambda}{4}y=0, \quad F_\lambda=-g= -\left(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-1\right)=0$    

を考える.これをまとめると

$\displaystyle x(\lambda-9)=0, \quad y(\lambda+4)=0, \quad \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$    

となる. $ x=0$ のとき第 3 式より $ y=\pm 2$ であり, 第 2 式より $ \lambda=-4$ となる. $ y=0$ のとき第 3 式より $ x=\pm 3$ であり, 第 1 式より $ \lambda=9$ となる. $ \lambda=9$ のとき 第 2 式より $ y=0$ であり, 第 3 式より $ x=\pm 3$ となる. $ \lambda=-4$ のとき 第 1 式より $ x=0$ であり, 第 3 式より $ y=\pm 2$ となる. よって連立方程式の解は

$\displaystyle (x,y,\lambda)= (0,\pm2,-4), (\pm 3,0,9)$    

となる.極値の候補となる点は

$\displaystyle (x,y)=(0,\pm2),(\pm 3,0)$    

である. これらの点が極値であるか確認する. 条件 $ g(x,y)=0$ により定まる 2 つの 陰関数をそれぞれ $ y=\varphi(x)$, $ x=\psi(y)$ とおく. これらの導関数は

  $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\varphi'(x)=-\frac{g_x}{g_y}=-\frac{4x}{9y} \quad($ただし $ y\neq 0$ のとき$\displaystyle ),$    
  $\displaystyle \frac{dx}{dy}=\psi'(y)=-\frac{g_y}{g_x}=-\frac{9y}{4x} \quad($ただし $ x\neq 0$ のとき$\displaystyle )$    

となる. また,合成関数 $ p(x)=f(x,\varphi(x))$, $ q(x)=f(\psi(y),y)$ の 導関数はそれぞれ

$\displaystyle p'(x)$ $\displaystyle =\frac{d}{dx}f(x,\varphi(x))= f_x(x,y)\frac{dx}{dx}+f_y(x,y)\frac{dy}{dx} = f_x(x,y)+f_y(x,y)\varphi'(x)$    
  $\displaystyle = 2x-2y\left(-\frac{4x}{9y}\right)=\frac{26}{9}x \quad($ただし $ y\neq 0$ のとき$\displaystyle ),$    
$\displaystyle q'(y)$ $\displaystyle =\frac{d}{dy}f(\psi(y),y)= f_x(x,y)\frac{dx}{dy}+f_y(x,y)\frac{dy}{dy} = f_x(x,y)\psi'(y)+f_y(x,y)$    
  $\displaystyle = 2x\left(-\frac{9y}{4x}\right)-2y=-\frac{13}{2}y \quad($ただし $ x\neq 0$ のとき$\displaystyle )$    

となる.さらに微分すると

  $\displaystyle p''(x)= \frac{d^2}{dx^2}f(x,\varphi(x))= \frac{d}{dx}\left(\frac{26}{9}x\right)= \frac{26}{9}>0 \quad($ただし $ y\neq 0$ のとき$\displaystyle ),$    
  $\displaystyle q''(y)= \frac{d^2}{dy^2}f(\psi(y),y)= \frac{d}{dy}\left(-\frac{13}{2}y\right)= -\frac{13}{2}<0 \quad($ただし $ x\neq 0$ のとき$\displaystyle )$    

となる. よって, $ (x,y)=(0,\pm2)$ のとき,$ x=0$ となるから $ p(x)$ を用いて

$\displaystyle p'(0)=0, \quad p''(0)=\frac{26}{9}>0$    

となるので, $ f(0,\pm2)=-4$ は極小値である. また, $ (x,y)=(\pm3,0)$ のとき, $ y=0$ となるから $ q(x)$ を用いて

$\displaystyle q'(0)=0, \quad q''(0)=-\frac{13}{2}<0$    

となるので, $ f(\pm3,0)=9$ は極大値である.
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{joken-kyokuchi.eps}

2.229 (条件付き極値)   条件 $ \displaystyle{g(x,y)=x^2-\frac{y^2}{4}-1=}0$ のもとでの 関数 $ f(x,y)=x^3+y$ の極値を求める. まず,

$\displaystyle F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)= x^3+y-\lambda\left(x^2-\frac{y^2}{4}-1\right)$    

とおく.このとき連立方程式

$\displaystyle F_x=3x^2-2\lambda x=0, \quad F_y=1+\frac{2\lambda}{4}y=0, \quad F_\lambda=-g= -\left(x^2-\frac{y^2}{4}-1\right)=0$    

を考える.これをまとめると

$\displaystyle x(3x-2\lambda)=0, \quad \lambda y+2=0, \quad x^2-\frac{y^2}{4}=1$    

となる. 第 1 式より $ x=0$ とする. このとき第 3 式より $ y=\pm\sqrt{-4}$ となり 実数解をもたないので不適である. 第 1 式より $ \displaystyle{x=\frac{2\lambda}{3}}$ とする. このとき, $ \lambda\neq0$ である. なぜなら,$ \lambda=0$ とすると $ x=0$ となるからである. よって第 2 式より $ \displaystyle{y=-\frac{2}{\lambda}}$ である.

$\displaystyle x=\frac{2\lambda}{3}, \qquad y=-\frac{2}{\lambda}$    

を第 3 式に代入すると

$\displaystyle (4\lambda^2+3)(\lambda^2-3)=0$    

となる.実数の範囲内の解は

$\displaystyle \lambda=\pm\sqrt{3}$    

である. 以上より,連立方程式の解は

$\displaystyle (x,y,\lambda)= \left( \pm\frac{2}{\sqrt{3}}, \mp\frac{2}{\sqrt{3}}, \pm\sqrt{3} \right)$   (複合同順)    

となる.極値の候補となる点は

$\displaystyle (x,y)= \left( \frac{2}{\sqrt{3}}, -\frac{2}{\sqrt{3}} \right), \left( -\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}} \right)$    

である. これらの点が極値であるか確認する. 条件 $ g(x,y)=0$ により定まる陰関数を $ y=\varphi(x)$ とおく. この導関数は

  $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\varphi'(x)=-\frac{g_x}{g_y}=\frac{4x}{y} \quad($ただし $ y\neq 0$ のとき$\displaystyle )$    

となる. また,合成関数 $ p(x)=f(x,\varphi(x))$ の導関数は $ y\neq 0$ のとき

$\displaystyle p'(x)$ $\displaystyle =\frac{d}{dx}f(x,\varphi(x))= f_x(x,y)\frac{dx}{dx}+f_y(x,y)\frac{dy}{dx}= f_x(x,y)+f_y(x,y)\varphi'(x)= 3x^2+\frac{4x}{y}$    

となる.さらに微分すると

$\displaystyle p''(x)$ $\displaystyle = \frac{d^2}{dx^2}f(x,\varphi(x))= \frac{d}{dx}\left(3x^2+\frac{4...
...right)= 6x+\frac{4}{y}-\frac{4x\varphi'}{y^2}= 6x+\frac{4}{y}-\frac{16x^2}{y^3}$    
  $\displaystyle = 6x-\frac{16}{y^3}\left(x^2-\frac{y^2}{4}\right)= 6x-\frac{16}{y^3}$    

となる. よって, $ \displaystyle{
(x,y)=\left(\frac{2}{\sqrt{3}},-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}$ のとき,

$\displaystyle p'\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=0, \qquad p''\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=10\sqrt{3}>0$    

となるので, $ \displaystyle{
f\left(\frac{2}{\sqrt{3}},-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{3\sqrt{3}}}$ は極小値であり, $ \displaystyle{
(x,y)=\left(-\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}$ のとき,

$\displaystyle p'\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=0, \qquad p''\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=-10\sqrt{3}<0$    

となるので, $ \displaystyle{
f\left(-\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{2}{3\sqrt{3}}}$ は極大値である.
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{joken-kyokuchi2.eps}

2.230 (条件付き極値)   条件 $ \displaystyle{g(x,y)=x^2+y^2-a^2=}0$ ($ a>0$) のもとでの 関数 $ f(x,y)=2xy$ の極値を求める. まず,

$\displaystyle F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)= 2xy-\lambda(x^2+y^2-a^2)$    

とおく.このとき連立方程式

$\displaystyle F_x=2y-2\lambda x=0, \quad F_y=2x-2\lambda y=0, \quad F_\lambda=-g=-(x^2+y^2-a^2)=0$    

を考える.これをまとめると

$\displaystyle y-\lambda x=0, \quad x-\lambda y=0, \quad x^2+y^2=a^2$    

となる. 第 1 式より $ y=\lambda x$ を第 2 式に代入して

$\displaystyle (1-\lambda^2)x=0$    

となる. $ x=0$ のとき,第 1 式では $ y=0$ となり, 第 3 式では $ y=\pm a$ となる. これは矛盾するので不適である. $ \lambda=1$ のとき,$ y=x$ であり 第 3 式から $ \displaystyle{x=\pm\frac{a}{\sqrt{2}}}$ となる. $ \lambda=-1$ のとき,$ y=-x$ であり 第 3 式から $ \displaystyle{x=\pm\frac{a}{\sqrt{2}}}$ となる. 以上より,連立方程式の解は

$\displaystyle (x,y,\lambda)= \left( \pm\frac{a}{\sqrt{2}}, \pm\frac{a}{\sqrt{2}}, 1 \right), \left( \pm\frac{a}{\sqrt{2}}, \mp\frac{a}{\sqrt{2}}, -1 \right)$   (複合同順)    

となる.極値の候補となる点は

$\displaystyle (x,y)= \left( \frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}} \right), \le...
...ac{a}{\sqrt{2}} \right), \left( -\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}} \right)$    

である. これらの点が極値であるか確認する. 条件 $ g(x,y)=0$ により定まる陰関数を $ y=\varphi(x)$ とおく. この導関数は

  $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\varphi'(x)=-\frac{g_x}{g_y}=-\frac{x}{y} \quad($ただし $ y\neq 0$ のとき$\displaystyle )$    

となる. また,合成関数 $ p(x)=f(x,\varphi(x))$ の導関数は $ y\neq 0$ のとき

$\displaystyle p'(x)$ $\displaystyle =\frac{d}{dx}f(x,\varphi(x))= f_x(x,y)\frac{dx}{dx}+f_y(x,y)\frac{dy}{dx}= f_x(x,y)+f_y(x,y)\varphi'(x)= 2y-\frac{2x^2}{y}$    

となる.さらに微分すると

$\displaystyle p''(x)$ $\displaystyle = \frac{d^2}{dx^2}f(x,\varphi(x))= \frac{d}{dx}\left(2y-\frac{2x^...
...2\varphi'-\frac{4x}{y}+\frac{2x^2\varphi'}{y^2}= -\frac{6x}{y}-\frac{2x^3}{y^3}$    

となる. よって, $ \displaystyle{
(x,y)=\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}},\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)}$ のとき,

$\displaystyle p'\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=0, \qquad p''\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=-8<0$    

となるので, $ \displaystyle{
f\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}},\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=a^2}$ は極大値である. $ \displaystyle{
(x,y)=\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}},\mp\frac{a}{\sqrt{2}}\right)}$ のとき,

$\displaystyle p'\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=0, \qquad p''\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=8>0$    

となるので, $ \displaystyle{
f\left(
\pm\frac{a}{\sqrt{2}},
\mp\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=-a^2}$ は極小値である.


平成21年12月2日