2.48 条件付き極値問題

例 2.223 (条件付き極値)   条件 $${g(x,y)=\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-1=}0$$ のもとでの 関数 $f(x,y)=x^2-y^2$ の極値を求める． 条件 $g(x,y)=0$ は楕円の方程式であるから， $x$, $y$ は

$$x=\phi(t)=3\cos t, \quad y=\psi(t)=2\sin 5, \quad 0\le t \le 2\pi$$

とパラメータ表示で表される． このとき当然 $g(\phi(t),\psi(t))=0$ が成立する． $x$, $y$ は $t$ の関数であるから， $f(x,y)$ も $t$ の関数となり，

$$p(t)=f(\phi(t),\psi(t))= 9\cos^2 t-4\sin^2 t$$

と書ける． 求めるべき極値は $p(t)$ の極値を求めればよい． $p(t)$ を式変形すると，

$$p(t)=9(1-\sin^2 t)-4\sin^2 t=9-13\sin^2 t$$

であり，この導関数は

$$p'(t)=-26\sin t\cos t=-13\sin 2t$$

となる． $p'(t)=0$ のとき極値の候補となる． $0\le t\le 2\pi$ に注意すると， $${t=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}}$$ のときが極値に候補となる． $p(t)$ の 2 階の導関数は

$$p''(t)=-26\cos 2t$$

であるから， $t=0,\pi$ のとき $p''=-26<0$ となるので， $p=9$ は極大値となる． $${t=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}}$$ のとき $p''=26>0$ となるので， $p=-4$ は極小値となる． よって， $(x,y)=(\pm3,0)$ のとき 極大値 $f(\pm3,0)=9$ をとり， $(x,y)=(0,\pm2)$ のとき 極大値 $f(0,\pm2)=-4$ をとる．

例 2.224 (条件付き極値)   条件 $${g(x,y)=\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-1=}0$$ のもとでの 関数 $f(x,y)=x^2-y^2$ の極値を求める． 条件 $g(x,y)=0$ により定まる 2 つの 陰関数をそれぞれ $y=\varphi(x)$, $x=\psi(y)$ とおく． これらの導関数は

$$\frac{dy}{dx}=\varphi'(x)=-\frac{g_x}{g_y}=-\frac{4x}{9y} \quad( y\neq 0 ),$$

$$\frac{dx}{dy}=\psi'(y)=-\frac{g_y}{g_x}=-\frac{9y}{4x} \quad( x\neq 0 )$$

となる． また，合成関数 $p(x)=f(x,\varphi(x))$, $q(x)=f(\psi(y),y)$ の 導関数はそれぞれ

$$p'(x) =\frac{d}{dx}f(x,\varphi(x))= f_x(x,y)\frac{dx}{dx}+f_y(x,y)\frac{dy}{dx} = f_x(x,y)+f_y(x,y)\varphi'(x)$$

$$= 2x-2y\left(-\frac{4x}{9y}\right)=\frac{26}{9}x \quad( y\neq 0 ),$$

$$q'(y) =\frac{d}{dy}f(\psi(y),y)= f_x(x,y)\frac{dx}{dy}+f_y(x,y)\frac{dy}{dy} = f_x(x,y)\psi'(y)+f_y(x,y)$$

$$= 2x\left(-\frac{9y}{4x}\right)-2y=-\frac{13}{2}y \quad( x\neq 0 )$$

となる． 極値の候補となる点は $p'(x)=0$, $q'(y)=0$ をみたす点である． これらよりそれぞれ $x=0$, $y=0$ を得る． このとき $g(x,y)=0$ を代入すると ぞれぞれ，$y=\pm 2$, $x=\pm 3$ を得る． よって，極値の候補は

$$(x,y)=(0,\pm2),(\pm 3,0)$$

である． これらの点が極値であるか確認する． さらに微分すると

$$p''(x)= \frac{d^2}{dx^2}f(x,\varphi(x))= \frac{d}{dx}\left(\frac{26}{9}x\right)= \frac{26}{9}>0 \quad( y\neq 0 ),$$

$$q''(y)= \frac{d^2}{dy^2}f(\psi(y),y)= \frac{d}{dy}\left(-\frac{13}{2}y\right)= -\frac{13}{2}<0 \quad( x\neq 0 )$$

となる． よって， $(x,y)=(0,\pm2)$ のとき，$x=0$ となるから $p(x)$ を用いて

$$p'(0)=0, \quad p''(0)=\frac{26}{9}>0$$

となるので， $f(0,\pm2)=-4$ は極小値である． また， $(x,y)=(\pm3,0)$ のとき， $y=0$ となるから $q(x)$ を用いて

$$q'(0)=0, \quad q''(0)=-\frac{13}{2}<0$$

となるので， $f(\pm3,0)=9$ は極大値である．

例 2.225 (条件付き極値)   条件 $${g(x,y)=x^2-\frac{y^2}{4}-1=}0$$ のもとでの 関数 $f(x,y)=x^3+y$ の極値を求める． 条件 $g(x,y)=0$ により定まる陰関数を $y=\varphi(x)$ とおく． この導関数は

$$\frac{dy}{dx}=\varphi'(x)=-\frac{g_x}{g_y}=\frac{4x}{y} \quad( y\neq 0 )$$

となる． また，合成関数 $p(x)=f(x,\varphi(x))$ の導関数は $y\neq 0$ のとき

$$p'(x) =\frac{d}{dx}f(x,\varphi(x))= f_x(x,y)\frac{dx}{dx}+f_y(x,y)\frac{dy}{dx}= f_x(x,y)+f_y(x,y)\varphi'(x)= 3x^2+\frac{4x}{y}$$

となる． 極値の候補は $p'(x)=0$ となる点である． これより，

$$3x^2y+4x=0 \quad \Rightarrow \quad y=-\frac{4x}{3x^2}=-\frac{4}{3x}$$

を得る． これを $g(x,y)=0$ へ代入すると，

$$9x^4-9x^2+4=0$$

となる． $x^2=X$ とおけば

$$(3X-4)(3X+1)=0$$

となるので， $${x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}}$$ を得る． よって，極値の候補となる点は

$$(x,y)= \left( \frac{2}{\sqrt{3}}, -\frac{2}{\sqrt{3}} \right), \left( -\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}} \right)$$

である． これらの点が極値であるか確認する． $p(x)$ をさらに微分すると

$$p''(x) = \frac{d^2}{dx^2}f(x,\varphi(x))= \frac{d}{dx}\left(3x^2+\frac{4... ...right)= 6x+\frac{4}{y}-\frac{4x\varphi'}{y^2}= 6x+\frac{4}{y}-\frac{16x^2}{y^3}$$

$$= 6x-\frac{16}{y^3}\left(x^2-\frac{y^2}{4}\right)= 6x-\frac{16}{y^3}$$

となる． よって， $${ (x,y)=\left(\frac{2}{\sqrt{3}},-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}$$ のとき，

$$p'\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=0, \qquad p''\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=10\sqrt{3}>0$$

となるので， $${ f\left(\frac{2}{\sqrt{3}},-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{3\sqrt{3}}}$$ は極小値であり， $${ (x,y)=\left(-\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}$$ のとき，

$$p'\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=0, \qquad p''\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=-10\sqrt{3}<0$$

となるので， $${ f\left(-\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{2}{3\sqrt{3}}}$$ は極大値である．

例 2.226 (条件付き極値)   条件 $${g(x,y)=x^2+y^2-a^2=}0$$ ($a>0$) のもとでの 関数 $f(x,y)=2xy$ の極値を求める． 条件 $g(x,y)=0$ により定まる陰関数を $y=\varphi(x)$ とおく． この導関数は

$$\frac{dy}{dx}=\varphi'(x)=-\frac{g_x}{g_y}=-\frac{x}{y} \quad( y\neq 0 )$$

となる． また，合成関数 $p(x)=f(x,\varphi(x))$ の導関数は $y\neq 0$ のとき

$$p'(x) =\frac{d}{dx}f(x,\varphi(x))= f_x(x,y)\frac{dx}{dx}+f_y(x,y)\frac{dy}{dx}= f_x(x,y)+f_y(x,y)\varphi'(x)= 2y-\frac{2x^2}{y}$$

となる． $p'(x)=0$ をみたす点が極値の候補である． これより $x^2=y^2$ を得る． $y=\pm x$ を $g(x,y)=0$ へ代入すると， $2x^2=a^2$ となり， $${x=\pm\frac{a}{\sqrt{2}}}$$ であるから， 極値の候補となる点は

$$(x,y)= \left( \frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}} \right), \le... ...ac{a}{\sqrt{2}} \right), \left( -\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}} \right)$$

である． これらの点が極値であるか確認する． $p(x)$ をさらに微分すると

$$p''(x) = \frac{d^2}{dx^2}f(x,\varphi(x))= \frac{d}{dx}\left(2y-\frac{2x^... ...2\varphi'-\frac{4x}{y}+\frac{2x^2\varphi'}{y^2}= -\frac{6x}{y}-\frac{2x^3}{y^3}$$

となる． よって， $${ (x,y)=\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}},\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)}$$ のとき，

$$p'\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=0, \qquad p''\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=-8<0$$

となるので， $${ f\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}},\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=a^2}$$ は極大値である． $${ (x,y)=\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}},\mp\frac{a}{\sqrt{2}}\right)}$$ のとき，

$$p'\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=0, \qquad p''\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=8>0$$

となるので， $${ f\left( \pm\frac{a}{\sqrt{2}}, \mp\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=-a^2}$$ は極小値である．

平成21年12月2日