2.48 条件付き極値問題
例 2.223 (条件付き極値) 条件のもとでの 関数
の極値を求める. 条件
は楕円の方程式であるから,
,
は
とパラメータ表示で表される. このとき当然が成立する.
,
は
の関数であるから,
も
の関数となり,
と書ける. 求めるべき極値はの極値を求めればよい.
を式変形すると,
であり,この導関数は
となる.のとき極値の候補となる.
に注意すると,
のときが極値に候補となる.
の 2 階の導関数は
であるから,のとき
となるので,
は極大値となる.
のとき
となるので,
は極小値となる. よって,
のとき 極大値
をとり,
のとき 極大値
をとる.
例 2.224 (条件付き極値) 条件のもとでの 関数
の極値を求める. 条件
により定まる 2 つの 陰関数をそれぞれ
,
とおく. これらの導関数は
ただし
のとき
ただし
のとき
となる. また,合成関数,
の 導関数はそれぞれ
ただし
のとき
ただし
のとき
となる. 極値の候補となる点は,
をみたす点である. これらよりそれぞれ
,
を得る. このとき
を代入すると ぞれぞれ,
,
を得る. よって,極値の候補は
である. これらの点が極値であるか確認する. さらに微分すると
ただし
のとき
ただし
のとき
となる. よって,のとき,
となるから
を用いて
となるので,は極小値である. また,
のとき,
となるから
を用いて
となるので,は極大値である.
例 2.225 (条件付き極値) 条件のもとでの 関数
の極値を求める. 条件
により定まる陰関数を
とおく. この導関数は
ただし
のとき
となる. また,合成関数の導関数は
のとき
となる. 極値の候補はとなる点である. これより,
を得る. これをへ代入すると,
となる.とおけば
となるので,を得る. よって,極値の候補となる点は
である. これらの点が極値であるか確認する.をさらに微分すると
となる. よって,のとき,
となるので,は極小値であり,
のとき,
となるので,は極大値である.
例 2.226 (条件付き極値) 条件(
) のもとでの 関数
の極値を求める. 条件
により定まる陰関数を
とおく. この導関数は
ただし
のとき
となる. また,合成関数の導関数は
のとき
となる.をみたす点が極値の候補である. これより
を得る.
を
へ代入すると,
となり,
であるから, 極値の候補となる点は
である. これらの点が極値であるか確認する.をさらに微分すると
となる. よって,のとき,
となるので,は極大値である.
のとき,
となるので,は極小値である.
平成21年12月2日