1.4 平行四辺形の面積

定理 1.17 (平行四辺形の面積)   点 $ O$, $ A(a_1,a_2)$, $ B(b_1,b_2)$, $ D(a_1+b_1,a_2+b_2)$ からなる平行四辺形 $ OADB$ の面積は

$\displaystyle S=\mathrm{abs}\left( \begin{vmatrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}\right)$    

で与えられる.


(証明)     まず,

$\displaystyle \theta=\angle AOB, \quad \vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2} \end{bmatrix}\,, \quad \vec{b}= \begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \end{bmatrix}$    

とおく. すると,

$\displaystyle S$ $\displaystyle = \Vert\vec{a}\Vert\,\Vert\vec{b}\Vert\sin\theta= \Vert\vec{a}\Ve...
...ert\vec{b}\Vert^2- \left(\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert\cos\theta\right)^2}$ (1)
  $\displaystyle = \sqrt{ (\vec{a}\cdot\vec{a})(\vec{b}\cdot\vec{b})- (\vec{a}\cdo...
...= \sqrt{ (a_{1}{}^2+a_{2}{}^2)(b_{1}{}^2+b_{2}{}^2)- (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^2}$ (2)
  $\displaystyle = \sqrt{ a_{1}{}^2b_{2}{}^2-2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}+ a_{2}{}^2b_{1}...
...= \sqrt{(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^2}= \left\vert a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right\vert$ (3)
  $\displaystyle = \mathrm{abs}\left( \begin{vmatrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}\right)$ (4)

と得られる.




平成21年12月2日