3.2 累次積分

定義 3.12 (簡単な領域)   領域 $D$ が

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{a\leq x\leq b,\,\varphi_1(x)\leq y\leq \varphi_2(x)}\,\right\}$$

と表されるとき， $D$ を$x$ に関して簡単な領域という．

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{c\leq y\leq d,\,\psi_1(y)\leq x\leq \psi_2(y)}\,\right\}$$

と表されるとき， $D$ を$y$ に関して簡単な領域という．

定理 3.13 (累次積分)   領域 $D$ が $x$ に関して単純なとき， 多重積分は定積分

$$\iint_{D}f(x,y)\,dxdy= \int_{a}^{b}\left\{ \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy \right\}dx$$

により与えられる． 領域 $D$ が $y$ に関して単純なとき， 多重積分は定積分

$$\iint_{D}f(x,y)\,dxdy= \int_{c}^{d}\left\{ \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\,dx \right\}dy$$

により与えられる． これらの積分を累次積分という．

注意 3.14 (累次積分)   累次積分は省略して次のように表記する：

$$\iint_{D}f(x,y)\,dxdy= \int_{a}^{b}\!\!\left\{ \int_{\varphi_1(x)... ...(x,y)\,dy= \int_{a}^{b}\!\!dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}\!\!dy\,f(x,y),$$

$$\iint_{D}f(x,y)\,dxdy= \int_{c}^{d}\!\!\left\{ \int_{\psi_1(y)}^{... ...(y)}\!\!f(x,y)\,dx= \int_{c}^{d}\!dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}\!\!dx\,f(x,y).$$

平成21年12月2日