3.3 2 重積分の計算

例 3.15 ($x$, $y$ 両方に単純な領域における多重積分)   領域 $D$ を下図のような三角形の領域とする．このとき多重積分

$$I=\iint_Ddxdy$$

を求める． 被積分関数は $1$ であるから， 領域 $D$ の面積を $S=\frac{1}{2}$ とすると， $I=1\times S=S=\frac{1}{2}$ となる．

領域 $D$ を$x$ に関して単純な領域として表すと

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq x\leq 1,\,1\leq y\leq x}\,\right\}$$

となる． このとき累次積分で計算すると

$$I=\iint_{D}dxdy= \int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}dy= \int_{0}^{1}\left\... ...ight1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{x^2}{2}}\,\right]_{x=0}^{x=1}=\frac{1}{2}$$

と得られる．

領域 $D$ を $y$ に関して単純な領域として表すと

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq y\leq 1,\,y\leq x\leq 1}\,\right\}$$

となる． このとき累次積分で計算すると

$$I =\iint_{D}dxdy= \int_{0}^{1}dy\int_{y}^{1}dy= \int_{0}^{1}\left\{... ...em depth0.1em\,{y-\frac{y^2}{2}}\,\right]_{y=0}^{y=1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

と得られる．

注意 3.16 ($x$, $y$ 両方に単純な領域における多重積分)   $x$, $y$ の両方に関して単純な領域であれば， とちらの領域で計算しても結果は同じ．

例 3.17 (累次積分)   多重積分

$$I=\iint_D(x^2+y^2+1)\,dxdy, \quad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq x\leq 1,\,x\leq y\leq 2x}\,\right\}$$

を求める．$D$ は $x$ に関して単純な領域だから， 累次積分を用いて計算して，

$$I =\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{2x}(x^2+y^2+1)dy= \int_{0}^{1}\left\{\le... ...5em width0em depth0.1em\,{x^2y+\frac{y^3}{3}+y}\,\right]_{y=x}^{y=2x}\right\}dx$$

$$= \int_{0}^{1} \left\{ \left(2x^3+\frac{8x^3}{3}+2x\right)- \left... ...0em depth0.1em\,{\frac{5x^4}{6}+\frac{x^2}{2}}\,\right]_{x=0}^{x=1}=\frac{4}{3}$$

と得られる．

問 3.18 (累次積分)   領域 $D$ を 2 つの $y$ に関して単純な領域

$$D_1=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq y\leq 1,\,\, ... ...(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{1\leq y\leq 2,\,\, \frac{y}{2}\leq x\leq 1}\,\right\}$$

に $D=D_1+D_2$ と分ける． このとき，

$$\iint_{D}(x^2+y^2+1)dxdy= \iint_{D_1}(x^2+y^2+1)dxdy+ \iint_{D_2}(x^2+y^2+1)dxdy$$

を計算せよ．

問 3.19 (領域の面積)   領域 $D$ の面積 $S=\iint_Ddxdy$ を求めよ．

(a) $x$ に関して単純な領域	(b) $y$ に関して単純な領域	(c) $I$

例 3.20 (累次積分)   多重積分

$$\iint_D\frac{x}{y}dxdy, \quad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{1\leq y\leq 2,\,0\leq x\leq y^2}\,\right\}$$

を求める． $D$ は $y$ に関して単純な領域だから， 累次積分を用いて計算して，

$$I =\int_{1}^{2}dy\int_{0}^{y^2}\frac{x}{y}dx= \int_{1}^{2}\left\{\l... ...ht1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{y^4}{8}}\,\right]_{y=1}^{y=2}= \frac{15}{8}$$

と得られる．

問 3.21 (累次積分)   領域 $D$ を 2 つの $x$ に関して単純な領域

$$D_1=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq x\leq 1,\,\, ... ...\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{1\leq x\leq 4,\,\, \sqrt{x}\leq y\leq 2}\,\right\}$$

に $D=D_1+D_2$ と分ける． このとき，

$$\iint_{D}(x^2+y^2+1)dxdy= \iint_{D_1}(x^2+y^2+1)dxdy+ \iint_{D_2}(x^2+y^2+1)dxdy$$

を計算せよ．

問 3.22 (領域の面積)   領域 $D$ の面積 $S=\iint_Ddxdy$ を求めよ．

(a) $y$ に関して単純な領域	(b) $x$ に関して単純な領域	(c) $I$

例 3.23 (累次積分)   多重積分

$$I=\iint_Dx^2y\,dxdy, \quad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq 1,\,y\geq 0}\,\right\}$$

を求める．領域 $D$ は半円の内部の領域であり，

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{-1\leq x\leq 1,\,0\leq y\leq \sqrt{1-x^2}}\,\right\}$$

と書き直すと，$x$ に関して単純な領域とする． 累次積分を用いて計算して，

$$I =\int_{-1}^{1}dx\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!x^2y... ...1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{10}}\,\right]_{x=-1}^{x=1}$$

$$= 2\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{10}\right)=\frac{2}{15}$$

と得られる．

問 3.24 (累次積分)   領域 $D$ を $y$ に関して単純な領域として書けば

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq y\leq 1,\,\, -\sqrt{1-y^2}\leq x\leq\sqrt{1-y^2} }\,\right\}$$

と書ける．このとき $I=\iint_{D}x^2y\,dxdy$ を求めよ．

問 3.25 (領域の面積)   領域 $D$ の面積 $S=\iint_Ddxdy$ を求めよ．

(a) $x$ に関して単純な領域	(b) $y$ に関して単純な領域

平成21年12月2日