3.12 演習問題 〜 多重積分の積分変数の変換

3.59 (積分変数の変換)   次の多重積分を置換積分により求めよ.
    (1)   $ \displaystyle{\iint_{D}(x-y)^2\,dxdy,
D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{\vert x+2y\vert\leq1,\,\vert x-y\vert\leq 1}\,\right\}}$
    (2)   $ \displaystyle{\iint_{D}(2x+3y)^2e^{4x-3y}\,dxdy,
D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{\vert 2x+3y\vert\leq 1,\,\vert 2x-3y\vert\leq 1}\,\right\}}$
    (3)   $ \displaystyle{\iint_{D}(x+y)^2\,dxdy,
D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{-1\leq y+x\leq 3, -5\leq y-x\leq 4}\,\right\}}$
    (4)   $ \displaystyle{\iint_{D}(x-y)e^{x+y}\,dxdy,
D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq x+y\leq 2, 0\leq x-y\leq 2}\,\right\}}$

3.60 (積分変数の変換)   次の多重積分を置換積分により求めよ.
    (1)   $ \displaystyle{\iint_{D}(x^2+y^2)\,dxdy,
D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}\quad(a>0)}$
    (2)   $ \displaystyle{\iint_{D}x\,dxdy,
D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq x}\,\right\}}$
    (3)   $ \displaystyle{\iint_{D}\sqrt{1-x^2-y^2}\,dxdy,
D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq 1}\,\right\}}$
    (4)   $ \displaystyle{\iint_{D}(x+y)^2\,dxdy,
D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq9}\,\right\}}$
    (5)   $ \displaystyle{\iint_{D}x^2\,dxdy,
D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq x}\,\right\}}$
    (6)   $ \displaystyle{\iint_{D}\frac{dxdy}{(x^2+y^2)^m},
D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{a^2\leq x^2+y^2\leq 4a^2}\,\right\}}$    $ (a>0)$

3.61 (積分変数の変換)   次の多重積分を置換積分により求めよ.
    (1)   $ \displaystyle{\iiint_{D}(x^2+y^2+z^2)\,dxdydz,
D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2\leq a^2}\,\right\}\quad(a>0)}$
    (2)   $ \displaystyle{\iiint_Dx\,dxdydz,
D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{
x^2+y^2+z^2\leq a^2,\,\,
x\geq0,\,\,
y\geq0,\,\,
z\geq0}\,\right\}}$
    (3)   $ \displaystyle{\iiint_{D}(yz+zx)\,dxdydz,
D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2\leq4,\,y\geq0,\,z\geq0}\,\right\}}$

3.62 (積分変数の変換)   次の多重積分を置換積分により求めよ.
    (1)   $ \displaystyle{\iint_{D}x^4(y-x^2)\,dxdy,
D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq y-x^2\leq 1, -1\leq x\leq 1}\,\right\}}$
(ヒント: $ \displaystyle{x=u}$, $ \displaystyle{y=u^2+v}$
    (2)   $ \displaystyle{\iint_{D}x^2\,dxdy,
D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2/a^2+y^2/b^2\leq 1}\,\right\}}$    ($ a>0,b>0$)
(ヒント: $ \displaystyle{x=ar\cos\theta}$, $ \displaystyle{y=br\sin\theta}$
    (3)   $ \displaystyle{\iint_{D}(x+y)^4\,dxdy,
D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+2xy+2y^2\le 1}\,\right\}}$
(ヒント: $ \displaystyle{x+y=u}$, $ \displaystyle{y=v}$




平成21年12月2日