3.13 体積の計算

3.63 (球の体積)   半径 $ a$ の球の体積は $ V=4\pi a^3/3$ である. これを多重積分で求める.

(その 1)     球を 8 等分し底面が

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2\,\, x\ge0,\,\, y\ge0}\,\right\}$    

であり,上面が

$\displaystyle z=f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$    

の体積

$\displaystyle V=8\iint_{D}f(x,y)\,dxdy= \iint_{D}\sqrt{a^2-x^2-y^2}\,dxdy$    

として求める. 2 次元の極座標 $ x=r\cos\theta$, $ y=r\sin\theta$ とおくと, 領域 $ D$ と等価な領域は

$\displaystyle E=\left\{\left.\,{(r,\theta)\vrule height1em width0em depth0.1em}\,\,\right\vert\,\,{0\leq r\leq a,\,\, 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}}\,\right\}$    

であり,面積素は $ dxdy=rdrd\theta$ となるので,

$\displaystyle V$ $\displaystyle =8\iint_E\sqrt{a^2-r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta}rdrd\theta= 8\int_{0}^{a}r\sqrt{a^2-r^2}dr\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta$    
  $\displaystyle = 8\left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{2}{3(-2)}...
...a}\,\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}= \frac{8a^3}{3}\frac{\pi}{2}= \frac{4\pi}{3}a^3$    

と得られる.

(その 2)     球を 8 等分し,領域

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2\leq a^2\,\, x\ge0,\,\, y\ge0,\,\,z\ge0}\,\right\}$    

の体積

$\displaystyle V=8\iiint_{D}dxdydz$    

として求める. 3 次元の極座標 $ x=r\sin\theta\cos\varphi$, $ y=r\sin\theta\sin\varphi$, $ z=r\cos\theta$ とおくと, 領域 $ D$ と等価な領域は

$\displaystyle E=\left\{\left.\,{(r,\theta,\varphi)\vrule height1em width0em dep...
...\,\, 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\,\,, 0\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}}\,\right\}$    

であり,体積素は

$\displaystyle dxdydz=r^2\sin\theta\,drd\theta d\varphi$    

となるので,

$\displaystyle V$ $\displaystyle =8\iiint_Er^2\sin\theta\,drd\theta d\varphi= 8 \int_0^a r^2\,dr \...
...ft[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\varphi}\,\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$    
  $\displaystyle = 8\times \frac{a^3}{3}\times 1\times \frac{\pi}{2}= \frac{4\pi a^3}{3}$    

と得られる.

3.64 (円柱の体積)   底面の半径 $ a$,高さ $ h$ の円柱の体積は $ V=\pi a^2h$ である. これを多重積分で求める.

(その 1)     円柱の底面が $ xy$ 平面にあるとし,

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$    

とおく.円柱の上面は平面 $ z=f(x,y)=h$ である. 円柱の体積は

$\displaystyle V$ $\displaystyle = \iint_{D} f(x,y)\,dxdy= \iint_{D} h\,dxdy= h\iint_{D}dxdy= h\iint_{E}r\,drd\theta= h\int_0^ar\,dr\int_0^{2\pi}d\theta$    
  $\displaystyle = h\left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{r^2}{2}}\...
...eft[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\theta}\,\right]_0^{2\pi}=\pi a^2h$    

と求まる. ただし,

$\displaystyle E=\left\{\left.\,{(r,\theta)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq r\leq a,\,\, 0\leq\theta\leq2\pi}\,\right\}$    

とする.

(その 2)     円柱の領域は

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2,\,\,0\leq z\leq h}\,\right\}$    

と表される. この領域を円筒座標 $ x=r\cos\theta$, $ y=r\sin\theta$, $ z=z$ で置き換えると, $ (r,\theta,z)$ の領域は

$\displaystyle E=\left\{\left.\,{(r,\theta,z)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq r\leq a,\,\, 0\leq\theta\leq2\pi,\,\, 0\leq z\leq h}\,\right\}$    

であり,ヤコビアンは

$\displaystyle \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}= \begin{vmatrix}x_r ...
... \sin\theta & 0 \\ -r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =r$    

であるので,

$\displaystyle dxdydz=rdrd\theta dz$    

が成り立つ. 円柱の体積は

$\displaystyle V$ $\displaystyle = \iiint_{D}dxdyz= \iiint_{E}rdrd\theta dz= \int_0^{a}r\,dr\int_0...
...imes \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{z}\,\right]_0^{h}= \pi a^2h$    

と求まる.

\includegraphics[width=0.5\textwidth]{taiseki-enchu.eps}

3.65 (円錐の体積)   底面の半径 $ a$,高さ $ h$ の円錐の体積は $ \displaystyle{V=\frac{1}{3}\pi a^2h}$ である. これを多重積分で求める. 円錐の底面は $ xy$ 平面にあるとし, その領域を

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$    

とおく.$ z$ 軸と点 $ (x,y,z)$ との距離を $ r=\sqrt{x^2+y^2}$ とおくと, 円錐の斜面では図 (b) より,

$\displaystyle \frac{z}{h}+\frac{r}{a}=1$    

が成り立つ.よって,斜面は

$\displaystyle z=f(x,y)=h-\frac{h\sqrt{x^2+y^2}}{a}$    

と表される.よって円錐の体積は

$\displaystyle V$ $\displaystyle =\iint_{D}f(x,y)\,dxdy= h\iint_{D}\left(1-\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{a}\right)\,dxdy= h\iint_{E}\left(1-\frac{r}{a}\right)\,r\,drd\theta$    
  $\displaystyle = h\int_0^a\left(r-\frac{r^2}{a}\right)dr\int_0^{2\pi}d\theta= h\...
...ight1.5em width0em depth0.1em\,{\theta}\,\right]_0^{2\pi} = \frac{1}{3}\pi a^2h$    

と求まる. ただし,極座標変換を用いて

$\displaystyle E=\left\{\left.\,{(r,\theta)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq r\leq a,\,\, 0\leq\theta\leq2\pi}\,\right\}$    

とした.

3.66 (円錐の体積)   円錐の体積を

$\displaystyle V=\iiint_{D}dxdydz, \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\v...
...y^2\leq a^2,\,\,0\leq z\leq h\left(1-\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{a}\right)}\,\right\}$    

により求めよ.

\includegraphics[width=0.5\textwidth]{taiseki-ensui.eps} \includegraphics[width=0.3\textwidth]{taiseki-ensui-rz.eps}
(a) 円錐 (b) $ z=f(x,y)$

3.67 (体積の計算)   半球

$\displaystyle S=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2\leq a^2,\,\,z\ge0}\,\right\}$    

と無限にのびる円柱

$\displaystyle C=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq ax}\,\right\}$    

の共通部分 $ A=S\cap C$ の体積 $ V$ を求める. 領域 $ A$

$\displaystyle A=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{z\geq0,\,\, x^2+y^2+z^2\leq a^2,\,\,x^2+y^2\leq ax}\,\right\}$    

と表される. 領域 $ A$ は底面の領域を

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq ax}\,\right\}$    

とする曲面 $ z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ の体積であるから, $ A$ の体積 $ V$

$\displaystyle V$ $\displaystyle =\iint_{D}\sqrt{a^2-x^2-y^2}\,dxdy= \iint_{E}r\sqrt{a^2-r^2}\,drd...
...i}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{0}^{a\cos\theta}\!\!\!\!r\sqrt{a^2-r^2}\,dr$    
  $\displaystyle = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \left[\vrule heigh...
...^3)\,d\theta= \frac{2a^3}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\sin^3\theta)\,d\theta$    
  $\displaystyle = \frac{2a^3}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\sin\theta+\sin\thet...
...3\theta}\,\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{\pi}{3}-\frac{4}{9}\right)a^3$    

と求まる. ここで 2 次元の極座標 $ x=r\cos\theta$, $ y=r\sin\theta$ を用いた. 領域は $ E$ は領域 $ D$ と等価な領域で

$\displaystyle E=\left\{\left.\,{(r,\theta)\vrule height1em width0em depth0.1em}...
...frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2},\,\, 0\leq r\leq a\cos\theta}\,\right\}$    

である.

\includegraphics[width=0.6\textwidth]{taiseki-kyu-enchu.eps} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{taiseki-kyu-enchu-theta.eps}
(a) $ A=S\cap C$ (b) 領域 $ D$

3.68 (体積の計算)   球

$\displaystyle S=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2\leq 4a^2}\,\right\}$    

と円柱

$\displaystyle C=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$    

の共通部分 $ S\cap C$ を球 $ S$ から取り除いた領域 $ A=S-S\cap C$ の体積 $ V$ を求める. 領域 $ A$ を 8 等分して体積を

$\displaystyle V=8\iint_D\sqrt{4a^2-x^2-y^2}\,dxdy, \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{ a^2\leq x^2+y^2\leq4a^2,\,\,x\ge0,\,\,y\ge0}\,\right\}$    

により求める. 2 次元の極座標変換をすると底面の領域 $ D$

$\displaystyle E=\left\{\left.\,{(x,y)\vrule height1em width0em depth0.1em}\,\,\right\vert\,\,{a\leq r\leq2a,\,\,0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}}\,\right\}$    

であり,体積は

$\displaystyle V$ $\displaystyle =8\iint_{E}r\sqrt{4a^2-r^2}\,drd\theta= 8\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{a}^{2a}r\sqrt{4a^2-r^2}\,dr$    
  $\displaystyle =8 \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\theta}\,\right...
...}}}\,\right]_{a}^{2a}= 8\frac{\pi}{2}\frac{(\sqrt{3}a)^3}{3} = 4\sqrt{3}\pi a^3$    

と求まる.

3.69 (体積の計算)   領域

$\displaystyle C=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x\ge0,\,x^2+y^2\le a^2,\,0\le z\le x}\,\right\}$    

の体積を求める. この領域は円柱 $ x^2+y^2\leq a^2$ $ 0\leq z\leq x$ の領域である. $ xy$ 平面の底面の領域は

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x\ge 0,\,x^2+y^2\le a^2}\,\right\}$    

であり,上面は平面となり, $ z=f(x,y)=x$ で表される. よって,体積は

$\displaystyle V$ $\displaystyle =\iint_{D}x\,dxdy= \iint_{E}r\cos\theta\,rdrd\theta= \int_{0}^{a}r^2dr\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta d\theta$    
  $\displaystyle =\left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{r^3}{3}}\,\...
...th0.1em\,{\sin\theta}\,\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}= \frac{2a^3}{3}$    

と得られる.

3.70 (体積の計算)   2 つの円柱

  $\displaystyle C_1=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+z^2\leq a^2}\...
...quad C_2=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{y^2+z^2\leq a^2}\,\right\}$    

の共通部分 $ A=C_1\cap C_2$ の体積 $ V$ を求めよ.


平成21年12月2日