3.14 曲面積

定理 3.71 (曲面積) 関数による曲面

$\displaystyle B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{z=f(x,y),\,\, (x,y)\in D}\,\right\}$

の曲面積は

$\displaystyle S=\iint_{D}\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,dxdy$

で与えられる．

例 3.72 (球面の表面積) 半径の球面は

$\displaystyle B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2=a^2}\,\right\}$

である．表面積は 8 等分して

	$\displaystyle S=8\iint_{D}\sqrt{1+(z_x)^2+(z_y)^2}\,dxdy,$
	$\displaystyle z=\sqrt{a^2-x^2-y^2},$
	$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2,\,\, x\ge0,\,\, y\ge0}\,\right\}$

により求まる．はにより定まる陰関数であるから，

$\displaystyle z_x=-\frac{x}{z}, \quad z_y=-\frac{y}{z}$

となる．被積分関数は

$\displaystyle \sqrt{1+(z_x)^2+(z_y)^2}= \sqrt{1+\frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{z^2}}= \sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2}}= \frac{a}{z}= \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}$

であらから，表面積は

$\displaystyle S$	$\displaystyle = 8a\iint_{D}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy= 8a\iint_{E}\frac{r... ...theta= 8a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{0}^{a}\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}dr$
	$\displaystyle = 8a \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\theta}\,\rig... ...rule height1.5em width0em depth0.1em\,{-\sqrt{a^2-r^2}}\,\right]_0^a = 4\pi a^2$

と得られる．

例 3.73 (曲面積) 曲面

$\displaystyle B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2=a^2,\,\,x^2+y^2\leq ax,\,\,z\ge0}\,\right\} \quad(a>0)$

の曲面積

$\displaystyle S=\iint_{D}\sqrt{1+(z_x)^2+(z_y)^2}\,dxdy, \quad z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}, \quad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq ax}\,\right\}$

を求める．はにより定まる陰関数であるから，

$\displaystyle z_x=-\frac{x}{z}, \qquad z_y=-\frac{y}{z}$

となり，

$\displaystyle \sqrt{1+(z_x)^2+(z_y)^2}= \sqrt{1+\frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{z^2}... ...^2+y^2+z^2}{z^2}}= \sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}}= \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}$

を得る．これを用いると曲面積は

$\displaystyle S$	$\displaystyle =a \iint_{D}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy= a \iint_{E}\frac{r}... ...pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{0}^{a\cos\theta}\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}dr$
	$\displaystyle = a \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \left[\vrule hei... ...t\right)d\theta =2a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(1-\sin\theta\right)d\theta$
	$\displaystyle = 2a^2 \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\theta+\cos\theta}\,\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (\pi-2)a^2$

と求まる．

平成21年12月2日