3.18 線積分

定義 3.85 (線積分)   関数 $\vec{f}(\vec{x})=\begin{bmatrix}f(x,y) \\ g(x,y) \end{bmatrix}$ に対する有向曲線

$$C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\varphi(t),\,\,y=\psi(t),\,\,t:a\to b}\,\right\}$$

に関する線積分（line integral）を

$$\int_C\vec{f}(\vec{x})\cdot\,d\vec{x}= \int_Cf(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy$$

$$= \int_{a}^{b} \left(f(x,y)\frac{dx}{dt}+g(x,y)\frac{dy}{dt}\right)dt$$

$$= \int_{a}^{b} \left(f(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)+ g(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)\right)dt$$

と定義する． 曲線 $C$ を積分路（integral path）という．

注意 3.86 (線積分)   定義より $g=0$ のとき $${\int_{C}f(x,y)dx}$$ と表記し， $f=0$ のとき $${\int_{C}g(x,y)dx}$$ と表記する． それぞれは，

$$\int_{C}f(x,y)\,dx= \int_{a}^{b}f(x,y)\frac{dx}{dt}dt= \int_{a}^{b}f(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)dt,$$

$$\int_{C}g(x,y)\,dy= \int_{a}^{b}g(x,y)\frac{dy}{dt}dt= \int_{a}^{b}g(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)dt.$$

となるので，

$$\int_{C}f(x,y)dx+g(x,y)dy= \int_{C}f(x,y)dx+ \int_{C}g(x,y)dy$$

と表記される．

注意 3.87 (線積分)   線積分は力学の仕事（work）である． 力 $\vec{F}$ を加えて距離 $\Delta \vec{x}$ 移動したときの 仕事は $\Delta W=\vec{F}\cdot\Delta\vec{x}$ である． 経路 $C$ に沿って移動させたときの仕事の総和は

$$W=\sum\Delta W=\sum \vec{F}\cdot\Delta\vec{x}= \int_{C}\vec{F}(\v... ...dot d\vec{x}= \int_{t=a}^{t=b} \vec{F}(\vec{x}(t))\cdot\frac{d\vec{x}(t)}{dt}dt$$

となる．

定理 3.88 (線積分)   次の関係が成り立つ：

(i)     $${\int_{C_1+C_2}\vec{f}(\vec{x})\cdot d\vec{x}= \int_{C_1}\vec{f}(\vec{x})\cdot d\vec{x}+ \int_{C_2}\vec{f}(\vec{x})\cdot d\vec{x}}$$      (ii)     $${\int_{-C}\vec{f}(\vec{x})\cdot d\vec{x}= -\int_{C}\vec{f}(\vec{x})\cdot d\vec{x}}$$

例 3.89 (線積分)   線積分

$$I= \int_{C}(x+y)\,dx+xy\,dy, \qquad C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t,\,\,y=t^2,\,\,t:0\to a}\,\right\}$$

を求める． $${\frac{dx}{dt}=1}$$, $${\frac{dy}{dt}=2t}$$ を用いて，線積分は

$$I = \int_{0}^{a}\left((t+t^2)\frac{dx}{dt}+t\cdot t^2\frac{dy}{dt}\... ...3}+\frac{2t^5}{5}}\,\right]_{0}^{a}= \frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{3}+\frac{2a^5}{5}$$

と求まる．

平成21年12月2日