3.18 線積分

定義 3.85 (線積分)   関数 $ \vec{f}(\vec{x})=\begin{bmatrix}f(x,y) \\ g(x,y) \end{bmatrix}$ に対する有向曲線

$\displaystyle C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\varphi(t),\,\,y=\psi(t),\,\,t:a\to b}\,\right\}$    

に関する線積分(line integral)

  $\displaystyle \int_C\vec{f}(\vec{x})\cdot\,d\vec{x}= \int_Cf(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy$    
  $\displaystyle = \int_{a}^{b} \left(f(x,y)\frac{dx}{dt}+g(x,y)\frac{dy}{dt}\right)dt$    
  $\displaystyle = \int_{a}^{b} \left(f(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)+ g(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)\right)dt$    

と定義する. 曲線 $ C$積分路(integral path)という.

注意 3.86 (線積分)   定義より $ g=0$ のとき $ \displaystyle{\int_{C}f(x,y)dx}$ と表記し, $ f=0$ のとき $ \displaystyle{\int_{C}g(x,y)dx}$ と表記する. それぞれは,

  $\displaystyle \int_{C}f(x,y)\,dx= \int_{a}^{b}f(x,y)\frac{dx}{dt}dt= \int_{a}^{b}f(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)dt,$    
  $\displaystyle \int_{C}g(x,y)\,dy= \int_{a}^{b}g(x,y)\frac{dy}{dt}dt= \int_{a}^{b}g(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)dt.$    

となるので,

$\displaystyle \int_{C}f(x,y)dx+g(x,y)dy= \int_{C}f(x,y)dx+ \int_{C}g(x,y)dy$    

と表記される.

注意 3.87 (線積分)   線積分は力学の仕事(work)である. 力 $ \vec{F}$ を加えて距離 $ \Delta \vec{x}$ 移動したときの 仕事は $ \Delta W=\vec{F}\cdot\Delta\vec{x}$ である. 経路 $ C$ に沿って移動させたときの仕事の総和は

$\displaystyle W=\sum\Delta W=\sum \vec{F}\cdot\Delta\vec{x}= \int_{C}\vec{F}(\v...
...dot d\vec{x}= \int_{t=a}^{t=b} \vec{F}(\vec{x}(t))\cdot\frac{d\vec{x}(t)}{dt}dt$    

となる.

定理 3.88 (線積分)   次の関係が成り立つ:

(i)     $ \displaystyle{\int_{C_1+C_2}\vec{f}(\vec{x})\cdot d\vec{x}=
\int_{C_1}\vec{f}(\vec{x})\cdot d\vec{x}+
\int_{C_2}\vec{f}(\vec{x})\cdot d\vec{x}}$      (ii)     $ \displaystyle{\int_{-C}\vec{f}(\vec{x})\cdot d\vec{x}=
-\int_{C}\vec{f}(\vec{x})\cdot d\vec{x}}$

3.89 (線積分)   線積分

$\displaystyle I= \int_{C}(x+y)\,dx+xy\,dy, \qquad C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t,\,\,y=t^2,\,\,t:0\to a}\,\right\}$    

を求める. $ \displaystyle{\frac{dx}{dt}=1}$, $ \displaystyle{\frac{dy}{dt}=2t}$ を用いて,線積分は

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int_{0}^{a}\left((t+t^2)\frac{dx}{dt}+t\cdot t^2\frac{dy}{dt}\...
...3}+\frac{2t^5}{5}}\,\right]_{0}^{a}= \frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{3}+\frac{2a^5}{5}$    

と求まる.


平成21年12月2日