3.19 経路の異なる積分路における線積分

3.90 (線積分)   点 $ P(1,0)$ から点 $ Q(2,1)$ への経路を $ C_1$$ C_2$ の 2 通りを考える.

(i) 積分路 $ C_1$$ P$ から $ Q$ へ直線的に進むとして,

$\displaystyle C_{1}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t+1,\,\, y=t,\,\, t:0\to1}\,\right\}$    

とする. このとき線積分は

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int_{C_1}(x-y)dx+y\,dy= \int_{0}^{1} \left((t+1-t)\cdot(t+1)'+t\cdot(t)'\right)dt= \int_{0}^{1}\left(t+1\right)dt$    
  $\displaystyle = \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{t^2}{2}+t}\,\right]_{0}^{1}=\frac{3}{2}$    

となる.

(ii) 積分路 $ C_2$$ P$ から点 $ (2,0)$ を経由し $ Q$ へ直線的に進むとして,

  $\displaystyle C_{2}=C_{21}+C_{22},$    
  $\displaystyle C_{21}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t+1,\,\, y=0,\,\, t:0\to1}\,\right\},$    
  $\displaystyle C_{22}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=2,\,\, y=t,\,\, t:0\to1}\,\right\}$    

とおく.線積分は

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int_{C_2}(x-y)dx+y\,dy= \int_{C_{21}}(x-y)dx+y\,dy+ \int_{C_{22}}(x-y)dx+y\,dy$    
  $\displaystyle = \int_{0}^{1}\left((t+1-0)\cdot(t+1)'+0\cdot (0)' \right)dt+ \int_{0}^{1}\left((2-t)\cdot(2)'+t\cdot (t)'\right)dt$    
  $\displaystyle = \int_{0}^{1}\left(t+1\right)dt+ \int_{0}^{1}t\,dt= \int_{0}^{1}...
...ht)dt= \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{t^2+t}\,\right]_{0}^{1}=2$    

となる.

注意 3.91 (線積分)   $ P\to Q$ への積分路が異なれば積分値も異なる.

定義 3.92 (線積分)   点 $ P$ から点 $ Q$ への経路によらず線積分が同じとき, その線積分を

$\displaystyle \int_{P}^{Q}\vec{f}(\vec{x})\cdot\,d\vec{x}$    

と書く.


平成21年12月2日