3.19 経路の異なる積分路における線積分

例 3.90 (線積分)   点 $P(1,0)$ から点 $Q(2,1)$ への経路を $C_1$ と $C_2$ の 2 通りを考える．

(i) 積分路 $C_1$ は $P$ から $Q$ へ直線的に進むとして，

$$C_{1}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t+1,\,\, y=t,\,\, t:0\to1}\,\right\}$$

とする． このとき線積分は

$$I =\int_{C_1}(x-y)dx+y\,dy= \int_{0}^{1} \left((t+1-t)\cdot(t+1)'+t\cdot(t)'\right)dt= \int_{0}^{1}\left(t+1\right)dt$$

$$= \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{t^2}{2}+t}\,\right]_{0}^{1}=\frac{3}{2}$$

となる．

(ii) 積分路 $C_2$ は $P$ から点 $(2,0)$ を経由し $Q$ へ直線的に進むとして，

$$C_{2}=C_{21}+C_{22},$$

$$C_{21}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t+1,\,\, y=0,\,\, t:0\to1}\,\right\},$$

$$C_{22}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=2,\,\, y=t,\,\, t:0\to1}\,\right\}$$

とおく．線積分は

$$I =\int_{C_2}(x-y)dx+y\,dy= \int_{C_{21}}(x-y)dx+y\,dy+ \int_{C_{22}}(x-y)dx+y\,dy$$

$$= \int_{0}^{1}\left((t+1-0)\cdot(t+1)'+0\cdot (0)' \right)dt+ \int_{0}^{1}\left((2-t)\cdot(2)'+t\cdot (t)'\right)dt$$

$$= \int_{0}^{1}\left(t+1\right)dt+ \int_{0}^{1}t\,dt= \int_{0}^{1}... ...ht)dt= \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{t^2+t}\,\right]_{0}^{1}=2$$

となる．

注意 3.91 (線積分)   $P\to Q$ への積分路が異なれば積分値も異なる．

定義 3.92 (線積分)   点 $P$ から点 $Q$ への経路によらず線積分が同じとき， その線積分を

$$\int_{P}^{Q}\vec{f}(\vec{x})\cdot\,d\vec{x}$$

と書く．

平成21年12月2日