3.20 周回積分

注意 3.93 (周回積分)   積分路 $ C$ が一周しているとき, 線積分 $ \displaystyle{\int_{C}\vec{f}(\vec{x})\cdot\,d\vec{x}}$

$\displaystyle \oint_{C}\vec{f}(\vec{x})\cdot\,d\vec{x}$    

と表記することがある. これを周回積分とも呼ぶ.

定義 3.94 (領域の境界)   領域 $ D$の境界を $ \partial D$ と表記する. このとき内部が進行方向の左手になるように向きを定める. (注意)ここで $ \partial$ は偏微分の記号とは全く関係ない. 単に記号の形が「ぐるっとまわる」の見えるため.

3.95 (周回積分)   線積分

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\oint_{C}\frac{dx}{y}+\frac{dy}{x}$    

を計算する. ただし, 積分路 $ C$$ x=1$, $ y=4$, $ y=x^2$ ($ x\ge 0$) で囲まれる領域の境界を 正の向きに回るとする. 積分路を分割すると,

  $\displaystyle C=C_1+C_2+C_3,$    
  $\displaystyle C_1=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t,\,y=t^2,\,t:1\to 2}\,\right\},$    
  $\displaystyle C_2=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t,\,y=4,\,t:2\to 1}\,\right\},$    
  $\displaystyle C_3=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=1,\,y=t,\,t:4\to 1}\,\right\}$    

と書ける. 線積分は

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int_{C_1}\frac{dx}{y}+\frac{dy}{x}+ \int_{C_2}\frac{dx}{y}+\frac{dy}{x}+ \int_{C_3}\frac{dx}{y}+\frac{dy}{x}$    
  $\displaystyle = \int_{1}^{2}\left(\frac{1}{t^2}+\frac{2t}{t}\right)dt+ \int_{2}...
...{1}{4}+\frac{0}{t}\right)dt+ \int_{4}^{1}\left(\frac{0}{t}+\frac{1}{1}\right)dt$    
  $\displaystyle = \int_{1}^{2}\frac{dt}{t^2}+ 2\int_{1}^{2}dt+\frac{1}{4}\int_{2}...
...idth0em depth0.1em\,{-\frac{1}{t}}\,\right]_{1}^{2}+ 2(2-1)+\frac{1-2}{4}+(1-4)$    
  $\displaystyle = -\frac{3}{4}$    

となる.

3.96 (周回積分)   周回積分

$\displaystyle I=\frac{1}{2}\oint_{C}xdy-ydx$    

を求める. ただし,積分路は $ C=C_1+C_2$, $ C_1$: 中心は原点,半径 $ 2a$ の円を正の向きに一周, $ C_2$: 中心は原点,半径 $ a$ の円を負の向きに一周とする. 積分路は

  $\displaystyle C_1=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=2a\cos t,\,y=2a\sin t,\, t:0\to 2\pi}\,\right\},$    
  $\displaystyle C_2=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=a\cos t,\,y=a\sin t,\, t:2\pi\to0}\,\right\}$    

と書けるので, 線積分は

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\oint_{C_1}xdy-ydx+\frac{1}{2}\oint_{C_2}xdy-ydx$    
  $\displaystyle = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} ((2a\cos t)(2a\cos t)-(2a\sin t)(-2a\sin t))dt+ \frac{1}{2}\int_{2\pi}^{0} ((a\cos t)(a\cos t)-(a\sin t)(-a\sin t))dt$    
  $\displaystyle = \frac{4a^2}{2}\int_{0}^{2\pi}dt + \frac{a^2}{2}\int_{2\pi}^{0}d...
...t - \frac{a^2}{2}\int_{0}^{2\pi}dt = \frac{3a^2}{2}\int_{0}^{2\pi}dt = 3\pi a^2$    

と求まる.


平成21年12月2日