3.21 線積分と多重積分

定理 3.97 (グリーンの定理)   領域 $ D$ 内で関数 $ \vec{f}(\vec{x})$ が連続なとき,

$\displaystyle \oint_{\partial D}\vec{f}(\vec{x})\cdot\,d\vec{x}= \oint_{\partia...
...rac{\partial g(x,y)}{\partial x}- \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)dxdy$    

が成り立つ.


(証明)     $ D$$ x$ に関して単純な領域

  $\displaystyle \partial D=C_1+C_2+C_3+C_4,$    
  $\displaystyle C_1=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t,\,y=\varphi_1(t),\,t:a\to b}\,\right\},$    
  $\displaystyle C_2=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=b,\,y=t\varphi_2(b)+(1-t)\varphi_1(b),\,t:0\to 1}\,\right\},$    
  $\displaystyle C_3=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t,\,y=\varphi_2(t),\,t:b\to a}\,\right\},$    
  $\displaystyle C_4=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=a,\,y=t\varphi_2(a)+(1-t)\varphi_1(a),\,t:1\to0}\,\right\}$    

であるとき,

$\displaystyle \oint_{\partial D}f(x,y)dx+g(x,y)dy= \oint_{\partial D}f(x,y)dx+ \oint_{\partial D}g(x,y)dy$    

より,

  $\displaystyle \oint_{\partial D}f(x,y)\,dx= \int_{C_1}f(x,y)\,dx+ \int_{C_2}f(x,y)\,dx+ \int_{C_3}f(x,y)\,dx+ \int_{C_4}f(x,y)\,dx$    
  $\displaystyle = \int_{a}^{b}f(t,\varphi_1(t))dt+0+ \int_{b}^{a}f(t,\varphi_2(t))dt+0$    
  $\displaystyle = - \int_{a}^{b}(f(t,\varphi_2(t))-f(t,\varphi_1(t)))dt = - \int_{a}^{b}(f(x,\varphi_2(x))-f(x,\varphi_1(x)))dx$    
  $\displaystyle = - \int_{a}^{b}dx\left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{...
...}^{b}dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy$    
  $\displaystyle = - \int_{a}^{b}\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dxdy = - \iint_{D}\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dxdy$    

が成り立つ. 任意に与えられた領域を $ x$ に関して単純な領域として分割し, 積分を求める.このとき重なり合う境界は向きが異なるので, 積分値は符号が反転し相殺しあう. よって,任意の領域に対しても上式が成立する. 同様にして $ D$$ y$ に関して単純な領域であるとすると

  $\displaystyle \oint_{\partial D}g(x,y)\,dy= \iint_{D}\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}dxdy$    

が成り立つ.これらを合わせてグリーンの定理を得る.

注意 3.98 (グリーンの定理)   グリーンの定理は線積分と多重積分の移り合いを表す.

3.99 (グリーンの定理の使用例)   $ C$ を半径 $ a$ の円上を 1 周する有向曲線

$\displaystyle C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=a\cos t,\,\, y=a\sin t,\,\, t:0\to2\pi}\,\right\}$    

とする. このとき $ C$ の内部の領域は

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$    

である. 領域 $ D$ において関数 $ f(x,y)=y$, $ g(x,y)=-x$ は連続であるから, 線積分

$\displaystyle I=\oint_Cy\,dx-x\,dy$    

はグリーンの定理が適用でき,

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \iint_{D}(g_x-f_y)dxdy= \iint_{D}(-1-1)dxdy= -2\iint_{D}dxdy= -2\int_{0}^{a}r\,dr\int_{0}^{2\pi}d\theta= -2\pi a^2$    

と計算される.

3.100 (グリーンの定理)   線積分

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\oint_{C}\frac{dx}{y}+\frac{dy}{x}$    

を計算する. ただし, 積分路 $ C$$ x=1$, $ y=4$, $ y=x^2$ ($ x\ge 0$) で囲まれる領域の境界を 正の向きに回るとする. 積分路 $ C$ 内の領域を

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{1\le x\le 2,\, x^2\le y\le 4}\,\right\}$    

とおく. 領域 $ D$ 内で $ \displaystyle{f(x,y)=\frac{1}{y}}$, $ \displaystyle{g(x,y)=\frac{1}{x}}$ は連続であるから, グリーンの定理が適用可能である. これを用いると,

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\iint_{D}(g_x-f_y)\,dxdy= \iint_{D}\left(-\frac{1}{x^2}+\frac{1}...
...\,dxdy= \int_{1}^{2}dx\int_{x^2}^{4}\left(-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)dy$    
  $\displaystyle = \int_{1}^{2}dx \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{-...
...th0em depth0.1em\,{\frac{3}{x}+\frac{3}{4}x}\,\right]_{x=1}^{x=2}= -\frac{3}{4}$    

と求まる.

3.101 (グリーンの定理)   周回積分

$\displaystyle I=\frac{1}{2}\oint_{C}xdy-ydx$    

を求める. ただし,積分路は $ C=C_1+C_2$, $ C_1$: 中心は原点,半径 $ 2a$ の円を正の向きに一周, $ C_2$: 中心は原点,半径 $ a$ の円を負の向きに一周とする. $ C$ の内部の領域は

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{a^2\le x^2+y^2\le 4a^2}\,\right\}$    

である. 領域 $ D$ 内で関数 $ f(x,y)=-y$, $ g(x,y)=x$ は連続であるから, グリーンの定理が適用可能である. 線積分は

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \frac{1}{2}\iint_{D}(g_x-f_y)dxdy= \iint_{D}dxdy$    

と多重積分に変わる. 極座標に置換積分すると, $ (r,\theta)$ 座標では

$\displaystyle E=\left\{\left.\,{(r,\theta)}\,\,\right\vert\,\,{a\le r\le 2a,\,0\le\theta\le2\pi}\,\right\}$    

であるから,

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\iint_{E}r\,drd\theta= \int_{a}^{2a}r\,dt\int_{0}^{2\pi}d\theta=...
...[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\theta}\,\right]_{0}^{2\pi}= 3\pi a^2$    

となる.

3.102 (グリーンの定理が使用不可な例)   線積分

$\displaystyle I=\oint_{C}\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy, \quad C=\lef...
....\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\cos t,\,\, y=\sin t,\,\, t:0\to2\pi}\,\right\}$    

を考える. $ C$ は単位円上を 1 周する有向曲線であり, $ C$ の内部の領域は

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq 1}\,\right\}$    

である. 関数

$\displaystyle f(x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2}, \quad g(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$    

は原点で連続ではないので, 領域 $ D$ のすべての点において 関数 $ f$, $ g$ は連続ではないからグリーンの定理は適用できない.

誤りではあるが, グリーンの定理を適用して計算すると,

$\displaystyle f_y=\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}, \qquad g_x=\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}, \qquad g_x-f_y=0$    

より,

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\oint_{C}\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy= \iint_{D}(g_x-f_y)dxdy= \iint_{D}0\,dxdy=0$    

となる. 正しくは

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\oint_{C}\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy= \int_0^{2\pi}...
...sin t}{\cos^2t+\sin^2t}(-\sin t)+ \frac{\cos t}{\cos^2t+\sin^2t}\cos t\right)dt$    
  $\displaystyle = \int_0^{2\pi}dt=2\pi$    

と得られる.


平成21年12月2日