3.23 線積分による面積の計算

注意 3.107 (線積分による面積の計算)   領域 $D$ とのその周回 $\partial D$ に対して 周回積分

$$I=\oint_{\partial D}x\,dy-y\,dx$$

を考える． $f=-y$, $g=x$ は $\mathbb{R}^2$ 全体で連続であるから， 領域 $D\subset\mathbb{R}^2$ でも連続であり， グリーンの定理が適用可能である． よって

$$I=\iint_{D}(g_x-f_y)dxdy= \iint_{D}(1-(-1))dxdy= 2\iint_{D}dxdy=2S(D)$$

が成り立つ． よって $I$ は領域 $D$ の面積 $S(D)$ の 2 倍となる．

例 3.108 (線積分による面積の計算)   領域

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x\leq\cos t,\,y\leq\sin^5 t,\,0\leq t\leq 2\pi}\,\right\}$$

の面積を求める． 面積は

$$S(D)=\frac{I}{2}= \frac{1}{2}\oint_{\partial D}x\,dy-y\,dx$$

と表される．ただし，境界線は

$$\partial D= \left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\cos t,\,y=\sin^5 t,\,t:0\to2\pi}\,\right\}$$

である．線積分を計算すると

$$I =\oint_{\partial D}x\,dy-y\,dx= \int_0^{2\pi}(\cos t\times 5\sin^4t\cos t- \sin^5t\times(-\sin t))\,dt$$

$$= \int_0^{2\pi}(5\sin^4t\cos^2t+\sin^6t)\,dt= \int_0^{2\pi}(1+2\cos^2t-7\cos^4t+4\cos^6t)\,dt$$

$$= \int_0^{2\pi}(\frac{3}{4}-\cos2t-\frac{1}{4}\cos^22t+\frac{1}{2... ...}{8}-\frac{1}{2}\cos2t-\frac{1}{8}\cos4t -\frac{1}{2}\cos2t\sin^22t \right)\,dt$$

$$= \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{5t}{8} -\f... ...-\frac{\sin 4t}{32} -\frac{\sin^3 2t}{12} }\,\right]_{0}^{2\pi} =\frac{5\pi}{4}$$

となる．よって面積は

$$S(D)= \frac{I}{2}= \frac{1}{2}\frac{5\pi}{4}= \frac{5\pi}{8}$$

と求まる．

平成21年12月2日