3.23 線積分による面積の計算

注意 3.107 (線積分による面積の計算)   領域 $ D$ とのその周回 $ \partial D$ に対して 周回積分

$\displaystyle I=\oint_{\partial D}x\,dy-y\,dx$    

を考える. $ f=-y$, $ g=x$ $ \mathbb{R}^2$ 全体で連続であるから, 領域 $ D\subset\mathbb{R}^2$ でも連続であり, グリーンの定理が適用可能である. よって

$\displaystyle I=\iint_{D}(g_x-f_y)dxdy= \iint_{D}(1-(-1))dxdy= 2\iint_{D}dxdy=2S(D)$    

が成り立つ. よって $ I$ は領域 $ D$ の面積 $ S(D)$ の 2 倍となる.

3.108 (線積分による面積の計算)   領域

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x\leq\cos t,\,y\leq\sin^5 t,\,0\leq t\leq 2\pi}\,\right\}$    

の面積を求める. 面積は

$\displaystyle S(D)=\frac{I}{2}= \frac{1}{2}\oint_{\partial D}x\,dy-y\,dx$    

と表される.ただし,境界線は

$\displaystyle \partial D= \left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\cos t,\,y=\sin^5 t,\,t:0\to2\pi}\,\right\}$    

である.線積分を計算すると

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\oint_{\partial D}x\,dy-y\,dx= \int_0^{2\pi}(\cos t\times 5\sin^4t\cos t- \sin^5t\times(-\sin t))\,dt$    
  $\displaystyle = \int_0^{2\pi}(5\sin^4t\cos^2t+\sin^6t)\,dt= \int_0^{2\pi}(1+2\cos^2t-7\cos^4t+4\cos^6t)\,dt$    
  $\displaystyle = \int_0^{2\pi}(\frac{3}{4}-\cos2t-\frac{1}{4}\cos^22t+\frac{1}{2...
...}{8}-\frac{1}{2}\cos2t-\frac{1}{8}\cos4t -\frac{1}{2}\cos2t\sin^22t \right)\,dt$    
  $\displaystyle = \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{5t}{8} -\f...
...-\frac{\sin 4t}{32} -\frac{\sin^3 2t}{12} }\,\right]_{0}^{2\pi} =\frac{5\pi}{4}$    

となる.よって面積は

$\displaystyle S(D)= \frac{I}{2}= \frac{1}{2}\frac{5\pi}{4}= \frac{5\pi}{8}$    

と求まる.

\includegraphics[width=0.4\textwidth]{sensekibun-menseki-D1.eps}


平成21年12月2日