next up previous
上: 3 多重積分 前: 3.23 線積分による面積の計算

3.24 演習問題 ～ 線積分

問 3.109 (線積分)   積分路 $ C$ を図示しパラメータ表示し，線積分 $ I$ を求めよ．
    (1)   $ \displaystyle{\int_{C}(x+y)\,dx+xy\,dy}$, $ \displaystyle{C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t,\,\,y=t^2,\,\,t:0\to a}\,\right\}}$
    (2)   $ \displaystyle{\int_{C}(x+y)\,dx+(x+y)\,dy}$, $ C:$ 曲線 $ y=x^2$ 上で点 $ (0,0)$ から $ (2,4)$ へ移動．
    (3)   $ \displaystyle{\int_{C}x^2y\,dx+e^{x^2}\,dy}$, $ C:$ 曲線 $ y=x^2$ 上で点 $ (-1,1)$ から $ (3,9)$ へ移動．
    (4)   $ \displaystyle{\int_{C}(x-y)dx+y\,dy}$, $ C:$ 点 $ (1,0)$ から $ (2,1)$ へ直線的に移動．
    (5)   $ \displaystyle{\int_{C}(x-y)dx+y\,dy}$, $ C:$ 点 $ (1,0)$ から $ (2,0)$ へ直線的に移動， さらに $ (2,0)$ から $ (2,1)$ へ直線的に移動．
    (6)   $ \displaystyle{\int_{C}(x^2+y^2)\,dx+2xy\,dy}$, $ C:$ 点 $ (2,1)$ から 点 $ (5,-3)$ へ直線的に移動．
    (7)   $ \displaystyle{\int_{C}x^2\,dx+2xy\,dy}$, $ C:$ $ (1,1)$ から 点 $ (-1,3)$ へ直線的に移動．
    (8)   $ \displaystyle{\oint_{C}\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy}$, $ \displaystyle{C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\cos t,\,\, y=\sin t,\,\, t:0\to2\pi}\,\right\}}$
    (9)   $ \displaystyle{\oint_{C}y^2\,dx+x^2\,dy}$, $ C:$ $ x^2+y^2=1$ 上を正方向に一周．
    (10)   $ \displaystyle{\oint_{C}y\,dx+x\,dy}$, $ C:$ $ \displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ 上を 正方向に一周．
    (11)   $ \displaystyle{\oint_{C}xy\,dx+x^2\,dy}$, $ C:$ 単位円を点 $ (1,0)$ から点 $ (0,1)$ へ正方向に移動．
    (12)   $ \displaystyle{\oint_{C}(x^2+y)\,dx+(x-y^2)\,dy}$, $ C:$ $ y=x$ と $ y=x^2$ で囲まれる領域の境界を正の向きに一周．
    (13)   $ \displaystyle{\oint_{C}\frac{dx}{y}+\frac{dy}{x}}$, $ C:$ $ x=1$, $ y=4$, $ y=x^2$ ($ x\ge 0$) で囲まれる領域の境界を正の向きに回る 曲線．
    (14)   $ \displaystyle{\frac{1}{2}\oint_{C}xdy-ydx}$, $ C=C_1+C_2$, $ C_1$: 中心は原点，半径 $ 2a$ の円を正の向きに一周， $ C_2$: 中心は原点，半径 $ a$ の円を負の向きに一周．

問 3.110 (グリーンの定理)   次の線積分をグリーンの定理を用いて計算せよ．
    (1)   $ \displaystyle{\oint_Cy\,dx-x\,dy}$, $ \displaystyle{C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=a\cos t,\,\, y=a\sin t,\,\, t:0\to2\pi}\,\right\}}$
    (2)   $ \displaystyle{\oint_{C}xy^2\,dx+x^2y\,dy}$, $ C$: 単位円上を正方向に一周．
    (3)   $ \displaystyle{\oint_{C}\sin(x^2+3x+e^{x^2})\,dx+(y+y^5)e^{y^2-y}\,dy}$, $ C$: 単位円上を正方向に一周．
    (4)   $ \displaystyle{\oint_{C}(e^{x^2}+y)\,dx+(y^5+x^2)\,dy}$, $ C$: 単位円上を正方向に一周．
    (5)   $ \displaystyle{\oint_{C}(y^2-y)\,dx+(3y^2x-x)\,dy}$, $ C$: 単位円上を正方向に一周．
    (6)   $ \displaystyle{\oint_{C}(xy^2+2x-y)\,dx+(x^2y-x+3y^2)\,dy}$, $ C$: 単位円上を正方向に一周．
    (7)   $ \displaystyle{\oint_{C}(x^2+2x^2y-y^3)\,dx+(x^3-2x^2-2xy^2)\,dy}$, $ C$: 単位円上を正方向に一周．
    (8)   $ \displaystyle{\oint_{C}2xy\,dx+(x+x^2)\,dy}$, $ C$: 単位円上を正方向に一周．
    (9)   $ \displaystyle{\oint_{C}\frac{dx}{y}+\frac{dy}{x}}$, $ C:$ $ x=1$, $ y=4$, $ y=x^2$ ($ x\ge 0$) で囲まれる領域の境界を正の向きに回る 曲線．
    (10)   $ \displaystyle{\frac{1}{2}\oint_{C}xdy-ydx}$, $ C=C_1+C_2$, $ C_1$: 中心は原点，半径 $ 2a$ の円を正の向きに一周， $ C_2$: 中心は原点，半径 $ a$ の円を負の向きに一周．

問 3.111 (線積分による面積の計算)   単一曲線内 $ C$ で囲まれる領域 $ D$ の面積 $ S$ は

$\displaystyle S= \oint_{C}x dy= -\oint_{C}y dx= \frac{1}{2} \oint_{C}x dy-y dx$    

で与えられることを グリーンの定理を用いて示せ． ただし，$ C$ は正の向きにまわる曲線とする．

問 3.112 (線積分による面積の計算)   次の曲線 $ C$ で囲まれてできる領域 $ D$ の面積 $ S$ を $ \displaystyle{S(D)= \frac{1}{2}\oint_{\partial D}x\,dy-y\,dx}$ により求めよ．
    (1)   アステロイド $ \displaystyle{C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=a\cos^3 t,\,y=a\sin^3 t,\,0\leq t\leq 2\pi}\,\right\}}$
    (2)   カーディオイド $ \displaystyle{D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=r\cos t,y=r\sin t, r=a(1+\cos t), 0\leq t\leq 2\pi}\,\right\}}$
    (3)   $ \displaystyle{C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\cos t,\,y=\sin^5 t,\,0\leq t\leq 2\pi}\,\right\}}$

問 3.113 (経路に依存しない線積分)   次の線積分 $ I$ の値を求めよ．
    (1)   $ \displaystyle{\int_{(1,0)}^{(2,1)}xy^2\,dx+x^2y\,dy}$
    (2)   $ \displaystyle{\int_{(0,0)}^{(1,2)}(3x^2y-y^2+2x)\,dx+(x^3-2xy+y^3)\,dy}$
    (3)   $ \displaystyle{\int_{(0,0)}^{(1,2)}(2x e^y+2y e^{2x}-x)\,dx+(x^2e^y+e^{2x}+y^2)\,dy}$

next up previous
上: 3 多重積分 前: 3.23 線積分による面積の計算


平成21年12月2日