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逆三角関数の微分
定理 3.29 (逆三角関数の微分)
(345) (346) (347)
問 3.30 これを示せ.
(証明) とおく. 主値を考えているので値域は
(348)
である. このとき の逆関数とその微分は
(349)
である.ここで を の関数で表すことを考える. と より
(350)
となる. 符号を片方のみ採用する. より となるので, 上式の右辺も 0 以上でなければならない. よって
(351)
である.以上より
(352)
を得る.次に とおく. この逆関数とその微分は
(353)
である. 主値 に注意して を の関数で表わすと
(354)
である.ここで を用いた. 以上より
(355)
を得る.最後に を考える. この逆関数とその微分は
(356) (357)
となる.これより
(358)
を得る.
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Created at 2002/09/12