双曲線関数の微分

定理 3.31 (双曲線関数の微分)  

$$\frac{d}{dx}\,\sinh x =\cosh x$$ (359)

$$\frac{d}{dx}\,\cosh x =\sinh x$$ (360)

$$\frac{d}{dx}\,\tanh x =\frac{1}{\cosh^2 x}$$ (361)

問 3.32   これを示せ．

$y=f(x)=\sinh(x)$ とおく． このとき

$$\frac{dy}{dx} =f'(x)=\frac{d}{dx}\sinh(x)= \frac{d}{dx}\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}= \frac{1}{2}\left(\frac{d}{dx}e^{x}-\frac{d}{dx}e^{-x}\right)$$ (362)

$$= \frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=\cosh(x)$$ (363)

を得る．次に $y=f(x)=\cosh(x)$ とおく． このとき

$$\frac{dy}{dx} =f'(x)=\frac{d}{dx}\cosh(x)= \frac{d}{dx}\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}= \frac{1}{2}\left(\frac{d}{dx}e^{x}+\frac{d}{dx}e^{-x}\right)$$ (364)

$$= \frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right)=\sinh(x)$$ (365)

を得る． 最後に $y=f(x)=\tanh(x)$ とおく． このとき

$$\frac{dy}{dx} =f'(x)=\frac{d}{dx}\tanh(x)= \frac{d}{dx}\left(\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\right)= \frac{(\sinh x)'\cosh x-\sinh x(\cosh x)'}{\cosh^2x}$$ (366)

$$= \frac{\cosh^2 x-\sinh^2 x}{\cosh^2x}= \frac{1}{\cosh^2x}$$ (367)

を得る．

Kondo Koichi
Created at 2002/09/12