逆双曲線関数の微分

問 3.34 これを示せ．

$y=f(x)=\mathrm{arcsinh}\,(x)$ とおく．このとき逆関数とその微分は

$\displaystyle x=f^{-1}(y)=\sinh(y)\,,\qquad \frac{dx}{dy}=\cosh(y)$

(371)

である．ここで $\cosh(y)$ をの関数で表わす． $\cosh^2 y-\sinh^2 y=1$ より

$\displaystyle \cosh y=\pm\sqrt{1+\sinh^2 y}=\pm\sqrt{1+x^2}$

(372)

である． $e^{\pm y}\geq0$ であり $\cosh y=(e^{y}+e^{-y})/2\geq1$ となることに考慮すると，複合は正のみが採用される．よって $\cosh y=\sqrt{1+x^2}$ となる．以上より

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$

$\displaystyle =f'(x)= \frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dx}{dy}}\quad}= \frac{1}{\cosh y}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

(373)

を得る．

次に $y=f(x)=\mathrm{arccosh}\,x\ (y\geq 0)$ とおく．このとき逆関数とその微分は

$\displaystyle x=f^{-1}(y)=\cosh y\,,\qquad \frac{dx}{dy}=\sinh y$

(374)

となる．ここで $\sinh(y)$ をの関数で表わす． $\cosh^2 y-\sinh^2 y=1$ より

$\displaystyle \sinh y=\pm\sqrt{\cosh^2 y-1}=\pm\sqrt{x^2-1}$

(375)

である． $y\geq0$ のとき $\sinh y\geq 0$ であるから複合は正を採用する．よって $\sinh y=\sqrt{x^2-1}$ となる．以上より

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$

$\displaystyle =f'(x)= \frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dx}{dy}}\quad}= \frac{1}{\sinh y}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

(376)

を得る．

最後に $y=\mathrm{arctanh}\,x$ とおく．この逆関数とその微分は

$\displaystyle x$	$\displaystyle =f^{-1}(y)=\tanh y\,,$	(377)
$\displaystyle \frac{dx}{dy}$	$\displaystyle =\frac{1}{\cosh^2 y}= \frac{\cosh^2y-\sinh^2y}{\cosh^2y}= 1-\left(\frac{\sinh y}{\cosh y}\right)^2= 1-\tanh^2y=1-x^2$	(378)

となる．よって

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$

$\displaystyle =f'(x)= \frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dx}{dy}}\quad}= \frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{1}{\cosh^2 y}}\quad}= \frac{1}{1-x^2}$

(379)

を得る．

$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\mathrm{arcsinh}\,x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,$	(368)
$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\mathrm{arccosh}\,x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,$	(369)
$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\mathrm{arctanh}\,x=\frac{1}{1-x^2}\,$	(370)