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関数
の
次近似式
の誤差
を考える.
テイラー展開
![$\displaystyle f(x)$](img554.png) |
![$\displaystyle = f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+ R_{n+1}(x)$](img1117.png) |
(528) |
より
![$\displaystyle f(x)$](img554.png) |
![$\displaystyle =\tilde{f}_{n}(x)+R_{n+1}(x)$](img1118.png) |
(529) |
が成り立つ.
誤差(error)を
![$\displaystyle e_{n}(x)$](img1119.png) |
![$\displaystyle =\vert\tilde{f}_{n}(x)-f(x)\vert$](img1120.png) |
(530) |
と定義すると,
上の式より誤差は
![$\displaystyle e_{n}(x)$](img1119.png) |
![$\displaystyle =\vert\tilde{f}_{n}(x)-f(x)\vert=\vert R_{n+1}(x)\vert$](img1121.png) |
(531) |
と表される.
例 4.26 (誤差の評価の具体例)
![$ f(x)=\sin x$](img999.png)
を多項式で近似する.
![$ x=0$](img540.png)
まわりでテイラー展開して近似式を計算すると
0 次近似: |
![$\displaystyle \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{0}(x)=0$](img1122.png) |
(532) |
次近似: |
![$\displaystyle \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{1}(x)=x$](img1123.png) |
(533) |
次近似: |
![$\displaystyle \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{3}(x)=x-\frac{x^3}{6}$](img1125.png) |
(534) |
次近似: |
![$\displaystyle \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{5}(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$](img1127.png) |
(535) |
を得る.
誤差
![$ e_{n}(x)$](img1116.png)
は
である.
いま
![$ x=1$](img549.png)
のときの誤差を考える.
このとき誤差は
となる.近似の次数が大きいほど誤差は小さい.
次に誤差
![$ e_{n}(x)$](img1116.png)
が
![$ 0.01$](img1144.png)
以下となるような
![$ x$](img20.png)
の範囲を求める.
上の誤差の評価式より
となる.
近似の次数が上がるほど
![$ x$](img20.png)
の範囲が広がっている.
問 4.27
教科書(p.69)問題 3-6 1.
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Kondo Koichi
Created at 2002/09/12