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近似関数の誤差の評価

関数 $ f(x)$ の $ n$ 次近似式 $ \tilde{f}_{n}(x)$ の誤差 $ e_{n}(x)$ を考える． テイラー展開

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+ R_{n+1}(x)$ (528)

より

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =\tilde{f}_{n}(x)+R_{n+1}(x)$ (529)

が成り立つ． 誤差（error）を

$\displaystyle e_{n}(x)$ $\displaystyle =\vert\tilde{f}_{n}(x)-f(x)\vert$ (530)

と定義すると， 上の式より誤差は

$\displaystyle e_{n}(x)$ $\displaystyle =\vert\tilde{f}_{n}(x)-f(x)\vert=\vert R_{n+1}(x)\vert$ (531)

と表される．

例 4.26 (誤差の評価の具体例)   $ f(x)=\sin x$ を多項式で近似する． $ x=0$ まわりでテイラー展開して近似式を計算すると

0 次近似： $\displaystyle \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{0}(x)=0$ (532)
$ 1$ 次近似： $\displaystyle \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{1}(x)=x$ (533)
$ 3$ 次近似： $\displaystyle \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{3}(x)=x-\frac{x^3}{6}$ (534)
$ 5$ 次近似： $\displaystyle \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{5}(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$ (535)

を得る． 誤差 $ e_{n}(x)$ は

$\displaystyle e_{0}(x)$ $\displaystyle =\vert\tilde{f}_{0}(x)-f(x)\vert=\vert R_{1}(x)\vert= \vert x\cos\theta x\vert<\vert x\vert$ (536)
$\displaystyle e_{1}(x)$ $\displaystyle =\vert\tilde{f}_{1}(x)-f(x)\vert=\vert R_{3}(x)\vert= \left\vert\frac{x^3\cos\theta x}{6}\right\vert <\frac{\vert x\vert^3}{6}$ (537)
$\displaystyle e_{3}(x)$ $\displaystyle =\vert\tilde{f}_{3}(x)-f(x)\vert=\vert R_{5}(x)\vert= \left\vert\frac{x^5\cos\theta x}{120}\right\vert <\frac{\vert x\vert^5}{120}$ (538)
$\displaystyle e_{5}(x)$ $\displaystyle =\vert\tilde{f}_{5}(x)-f(x)\vert=\vert R_{7}(x)\vert= \left\vert\frac{x^7\cos\theta x}{7!}\right\vert <\frac{\vert x\vert^7}{7!}$ (539)

である． いま $ x=1$ のときの誤差を考える． このとき誤差は

$\displaystyle e_{0}(1)<1 \quad$ $\displaystyle \to\quad e_{0}\sim 1$ (540)
$\displaystyle e_{1}(1)<\frac{1}{6}=0.1666... \quad$ $\displaystyle \to\quad e_{1}\sim 2\times10^{-1}$ (541)
$\displaystyle e_{3}(1)<\frac{1}{120}=0.008333... \quad$ $\displaystyle \to\quad e_{3}\sim 8\times10^{-3}$ (542)
$\displaystyle e_{5}(1)<\frac{1}{7!}=0.000198... \quad$ $\displaystyle \to\quad e_{5}\sim 2\times10^{-4}$ (543)

となる．近似の次数が大きいほど誤差は小さい． 次に誤差 $ e_{n}(x)$ が $ 0.01$ 以下となるような $ x$ の範囲を求める． 上の誤差の評価式より

$\displaystyle e_{0}(x)<\vert x\vert<0.01$ $\displaystyle \quad\to \quad \vert x\vert<0.01$ (544)
$\displaystyle e_{1}(x)<\frac{\vert x\vert^3}{6}<0.01$ $\displaystyle \quad\to \quad \vert x\vert^3<0.06 \quad\to \quad \vert x\vert<0.391$ (545)
$\displaystyle e_{3}(x)<\frac{\vert x\vert^5}{120}<0.01$ $\displaystyle \quad\to \quad \vert x\vert^5<1.2 \quad\to \quad \vert x\vert<1.04$ (546)
$\displaystyle e_{5}(x)<\frac{\vert x\vert^7}{7!}<0.01$ $\displaystyle \quad\to \quad \vert x\vert^5<50.4 \quad\to \quad \vert x\vert<1.75$ (547)

となる． 近似の次数が上がるほど $ x$ の範囲が広がっている．

問 4.27   教科書（p.69）問題 3-6 1．

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Kondo Koichi
Created at 2002/09/12