ランダウの記号

定義 4.28 (ランダウの記号)   関数 $f(x)$, $g(x)$ に対して

$$\lim_{x\to a} \left\vert\frac{f(x)}{g(x)}\right\vert=0$$ (548)

が成り立つとき，

$$f(x)=o(g(x))\quad (x\to a)$$ (549)

と表記する． $o(\cdot)$ はランダウ（Landau）の記号と呼ばれる． またこのとき， $f$ は $g$ に比べ無視できるという．

定義 4.29 (ランダウの記号)   関数 $f(x)$, $g(x)$ に対して

$$\lim_{x\to a} \left\vert\frac{f(x)}{g(x)}\right\vert=b<\infty$$ (550)

が成り立つとき，

$$f(x)=O(g(x))\quad (x\to a)$$ (551)

と表記する． $O(\cdot)$ はランダウ（Landau）の記号と呼ばれる． またこのとき $f$ は $g$ で押さえられるという．

注意 4.30 (二つのランダウの記号の関係)   関数 $f(x)$, $g(x)$ に対して

$$f(x)=O(g(x))\quad (x\to a)$$ (552)

が成り立つとき， $b\neq0$ であれば $${\lim_{x\to a} \left(\frac{f(x)}{g(x)}-b\right)=0}$$ となるので

$$f(x)=b\,g(x)+o(g(x)) \quad (x\to a)$$ (553)

が成り立つ．

定義 4.31 (無限大，無限小)   関数 $f(x)$, $g(x)$ が $x\to a$ において無限小または 無限大となるとき，次の呼び方を定義する．

• $f\to 0$, $g\to 0$, $f=o(g)$ $(x\to a)$ のとき， $f$ は $g$ より高次の無限小と呼ぶ． または $g$ は $f$ より低次の無限小と呼ぶ．
• $f\to \pm\infty$, $g\to \pm\infty$, $f=o(g)$ $(x\to a)$ のとき， $f$ は $g$ より低次の無限大と呼ぶ． または $g$ は $f$ より高次の無限大と呼ぶ．
• $f\to 0$, $g\to 0$, $f=O(g)$ $(x\to a)$ のとき， $f$ と $g$ とは同次の無限小と呼ぶ．
• $f\to \pm\infty$, $g\to \pm\infty$, $f=O(g)$ $(x\to a)$ のとき， $f$ と $g$ とは同次の無限大と呼ぶ．

例 4.32 (ランダウの記号の使用例)  

$$e^{x} = 1+x+O(x^2)=1+x+o(x) \quad(x\to0)$$ (554)

$$=1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3)= 1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2) \quad(x\to0)$$ (555)

$$\sin x = x+O(x^3)=x+o(x) \quad(x\to0)$$ (556)

$$= x-\frac{x^3}{3!}+O(x^5)= x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \quad(x\to0)$$ (557)

$$\log(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)= x-\frac{x^2}{2}+o(x^2) \quad(x\to0)$$ (558)

$$= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3) \quad(x\to0)$$ (559)

注意 4.33 (テイラー展開とランダウの記号)   テイラー展開

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+R_{n+1}(x)\,,$$ (560)

$$R_{n+1}(x)= \frac{f^{(n+1)}(x+\theta(x-a))}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \quad (0\leq\theta\leq1)$$ (561)

を考える．このとき

$$\lim_{x\to a} \left\vert\frac{R_{n+1}(x)}{(x-a)^{n+1}}\right\vert... ...))}{(n+1)!}\right\vert= \left\vert\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}\right\vert<\infty$$ (562)

となるから，

$$f(x) = f(a)+f'(a)(x-a)+ \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+ \cdots+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+ O\left((x-a)^{n+1}\right)$$ (563)

が成り立つ． 同様に

$$\lim_{x\to a} \left\vert\frac{R_{n+1}(x)}{(x-a)^{n}}\right\vert= ... ...)!}(x-a)\right\vert= \left\vert\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}\times 0\right\vert=0$$ (564)

となるから

$$f(x) = f(a)+f'(a)(x-a)+ \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+ \cdots+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+ o\left((x-a)^{n}\right)$$ (565)

が成り立つ．

Kondo Koichi
Created at 2002/09/12