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関数
![$\displaystyle f(x)$](img554.png) |
![$\displaystyle =\frac{\sin x}{x}$](img1182.png) |
(566) |
の
における極限を考える.
をテイラー級数で表わしたのち関数の極限を求める.
すなわち
![$\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)= \lim_{x\to0}\left\{\text{$f(x)$\ の $x=0$\ まわりでのテイラー級数}\right\}$](img1184.png) |
(567) |
として計算する.
まず分子である
をテイラー展開すると
![$\displaystyle \sin x$](img421.png) |
![$\displaystyle = x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{5!}+O(x^7)$](img1185.png) |
(568) |
となる.
次に分子
を分母
で割り,
のテイラー展開を求める.
すなわち
![$\displaystyle f(x)$](img554.png) |
![$\displaystyle =\frac{\sin x}{x}= \frac{x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{5!}+O(x^7)}{x}= 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^6}{5!}+O(x^6)$](img1186.png) |
(569) |
を得る.
もとの関数とテイラー級数で表わした関数とは等価なものである.
よって
|
![$\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)= \lim_{x\to0}\left( 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^6}{5!}+O(x^6) \right)= 1-0+0+0=1$](img1187.png) |
(570) |
を得る.
関数
はもともと点
において
値が定義されていない.
しかしながら,
等価な式であるテイラー級数では,
点
は特別な点ではない.
点
は見かけの不連続点である.
ある関数に不連続点があるとき,
その不連続点が取り除けるかどうかは,
その関数をテイラー級数表示をすればよい.
問 4.34
教科書(p.69)問題 3-6 2.
例 4.35 (テイラー展開を用いた極限の計算の例)
関数
![$\displaystyle f(x)$](img554.png) |
![$\displaystyle =\sqrt{x^2-2x}-x$](img1189.png) |
(571) |
に対して極限
![$ \displaystyle{\lim_{x\to\infty}f(x)}$](img1190.png)
を考える.
このとき
![$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)= \lim_{x\to\infty} \left\{\text{$f(x)$\ の $x=\infty$\ まわりのテイラー級数}\right\}$](img1191.png) |
(572) |
として極限を求める.
しかしながら,
巾級数
![$ \sum c_{n}(x-\infty)^{n}$](img1192.png)
は存在しない.
そこで変数を
![$ y=1/x$](img1193.png)
と導入する.
すると極限は
![$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)= \lim_{y\to0}f\left(\frac{1}{y}\right)= \li...
...eft\{\text{$f\left(\frac{1}{y}\right)$\ の $y=0$\ まわりのテイラー級数}\right\}$](img1194.png) |
(573) |
と表わされる.
![$ f(1/y)$](img1195.png)
を計算すると
![$\displaystyle f\left(\frac{1}{y}\right)= \sqrt{\frac{1}{y^2}-\frac{2}{y}}-\frac{1}{y}= \frac{1}{y}\left( \sqrt{1-2y}-1 \right)$](img1196.png) |
(574) |
となる.まず
![$ \sqrt{1-2y}$](img1197.png)
をテイラー展開すると
を得る.
これを用いて
![$ f(1/y)$](img1195.png)
のテイラー展開を求めると
となる.よって極限は
![$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)$](img1205.png) |
![$\displaystyle = \lim_{y\to0}f\left(\frac{1}{y}\right)= \lim_{y\to0}\left\{ -1-\frac{1}{2}y+O(y^2) \right\}= -1+0+0=-1$](img1206.png) |
(580) |
と得られる.
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Kondo Koichi
Created at 2002/09/12