多項式の文字の置換

定義 3.10 (多項式の変数の置換)   o$n$ 変数 $x_1$, $x_2$, $\cdots$, $x_n$ の 多項式 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ と 置換 $\sigma\in\S_n$ に対して

$$\sigma\,f(x_1,x_2,\cdots,x_n) = f(x_{\sigma_{1}},x_{\sigma_{2}},\cdots,x_{\sigma_{n}})$$ (256)

と定義する．

例 3.11 (多項式の変数の置換の具体例)  

定理 3.6 (置換の積)   $\sigma,\tau\in S_{n}$ に対して

$$(\sigma \tau)f(x_1,\cdots,x_n) = (\sigma(\tau f))(x_1,\cdots,x_n)$$ (257)

が成立する．

（証明）

定義 3.11 (差積)   $n$ 変数 $x_1,\cdots,x_n$ の多項式

$$\Delta(x_1,x_2,\cdots,x_n)= \prod_{i\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})$$ (258)

を差積と呼ぶ．

例 3.12 (差積の具体例)  

定理 3.7 (互換による差積の置換)   互換 $\sigma=(i,j)$ に対して

$$\sigma \Delta(x_1,\cdots,x_n)= -\Delta(x_1,\cdots,x_n)$$ (259)

が成立する．

（証明）

定理 3.8 (差積の変数の置換)   置換 $\sigma\in S_{n}$ に対して

$$\sigma \Delta(x_1,\cdots,x_n)= \mathrm{sgn}\,(\sigma)\Delta(x_1,\cdots,x_n)$$ (260)

が成立する．

（証明）

定理 3.9 (置換の符号の一意性)   置換の符号は互換の積の表わし方によらず一意に定まる．

（証明）

Kondo Koichi
Created at 2002/07/22