行列式の性質

定理 3.10 (行列式の行に関する性質)   行列式は次の性質もつ．

• $(1,1)$ 成分を除いて $1$ 列目が全て 0 の場合は 行列式のサイズが一つ下がる．

  $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & ... ... \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$ (263)

  
  

• 第 $i$ 行目の要素全てが共通因子 $\alpha$ をもつとき， $\alpha$ は行列式の外へ．

  $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdo... ...\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{2n} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$ (264)

  
  

• 第 $i$ 行が二つのベクトルの和で表されるとき， 行列式の和に分解される．

  $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdo... ...\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{2n} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$ (265)

  
  

• 第 $i$ 行と第 $j$ 行を入れ替えると 行列式の符合が反転する．

  $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdo... ...\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{2n} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$ (266)

  
  

• 同じ行があるときは行列式は 0 となる．

  $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdo... ...vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{2n} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =0$$ (267)

  
  

• 第 $j$ 行を $\alpha$ 倍して 第 $i$ 行に加えても行列式は等しい．

  $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdo... ...\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{2n} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$ (268)

  
  

問 3.4   これを示せ．

定理 3.11 (転置行列の行列式)  

$$\det(\,{}^{t}A)=\det(A)$$ (269)

問 3.5   これを示せ．

定理 3.12 (行列式の列に関する性質)  

問 3.6   これを示せ．

例 3.14 (行列式の計算の例)  

定理 3.13  

$$\det \begin{bmatrix}A & B \\ O & D \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix}A & O \\ C & D \end{bmatrix} = \det(A)\det(D)$$ (270)

例 3.15 (計算例)  

定理 3.14  

$$\det(AB)=\det(A)\det(B)$$ (271)

例 3.16 (計算例)  

定理 3.15 (行列式と行列の正則性)   行列 $A$ が正則行列のとき $\det(A)\neq0$ が成り立つ．

（証明）

定理 3.16 (逆行列の行列式)  

$$\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}$$ (272)

（証明）

定理 3.17 (行列式の性質)    

(1)

一つの行を $\alpha$ 倍すると行列式は $\alpha$ 倍となる．

(2)

一つの行が二つの行ベクトルの和で表せる行列式は， 他の行はそのままで， その行に各々の行ベクトルをとった行列式の和に等しい．

(3)

二つの行を入れ替えると行列式は $-1$ 倍となる．

(4)

二つの行が等しい行列式は 0 である．

(5)

一つの行を $\alpha$ 倍して別の行に加えても 行列式は変らない．

定理 3.18 (行列式の性質)    

(1)

一つの列を $\alpha$ 倍すると行列式は $\alpha$ 倍となる．

(2)

一つの列が二つの列ベクトルの和で表せる行列式は， 他の列はそのままで， その列に各々の列ベクトルをとった行列式の和に等しい．

(3)

二つの列を入れ替えると行列式は $-1$ 倍となる．

(4)

二つの列が等しい行列式は 0 である．

(5)

一つの列を $\alpha$ 倍して別の列に加えても 行列式は変らない．

（証明） $\det(\,{}^{t}A)=\det(A)$ より

$$\det(\,{}^{t}A) = \det(A)$$ (273)

Kondo Koichi
Created at 2002/07/22