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15 逆双曲線関数

双曲線関数の逆関数は 逆双曲線関数(inverse hyperbolic function) と呼び,

$\displaystyle y$ $\displaystyle =\sinh^{-1}x=\mathrm{arcsinh}\,x = \log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) \qquad (-\infty < x < \infty)\,$ (96)
$\displaystyle y$ $\displaystyle =\cosh^{-1}x=\mathrm{arccosh}\,x = \log\left(x\pm\sqrt{x^2-1}\right) \qquad (1\le x)\,$ (97)
$\displaystyle y$ $\displaystyle =\tanh^{-1}x=\mathrm{arctanh}\,x = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \qquad (\vert x\vert<1)$ (98)

と表される. 読み方は上から hyperbolic arc sine, hyperbolic arc cosine, hyperbolic arc tangent である. $ \mathrm{arccosh}\,x$ は二価関数である. 枝は $ \log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ $ \log\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)$ である. 通常は前者を主値にとる. その他の逆双曲線関数は一価関数である.

問 2.49 (逆双曲線関数のグラフ)   逆双曲線関数の概形を書け.

問 2.50 (逆双曲線関数の対数関数表示)   逆双曲線関数が([*])-([*])のように 対数関数を用いて書き表されることを示せ.


(答え) $ y=\mathrm{arcsinh}\,x$ とおく. 逆に書けば $ x=\sinh y=(e^{y}-e^{-y})/2$ である. これより

  $\displaystyle 2x=e^{y}-e^{-y}$ (99)
  $\displaystyle 2x\,e^{y}=e^{2y}-1$ (100)
  $\displaystyle e^{2y}-2x\,e^{y}-1=0$ (101)
  $\displaystyle \left(e^{y}-x\right)^2=x^2+1\geq0$ (102)
  $\displaystyle e^{y}-x=\pm\sqrt{x^2+1}$ (103)
  $\displaystyle 0\leq e^{y}=x\pm\sqrt{x^2+1}$ (104)
     この条件のもとでは複合の``$ -$''は不適 (105)
  $\displaystyle e^{y}=x+\sqrt{x^2+1}\geq0$ (106)
  $\displaystyle y=\log(x+\sqrt{x^2+1})$ (107)

を得る.


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Kondo Koichi
Created at 2004/08/14