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16 関数の極限
定義 2.51 (右極限,左極限) 変数を右から
に近づけたときの
の値が
に近づくとき
(108)
と書き,右極限(right-hand limit)と呼ぶ. 同様に, 変数を左から
に近づけたときの
の値が
に近づくとき
(109)
と書き,左極限(left-hand limit)と呼ぶ.また略記として
(110)
と書くこともある.
定義 2.52 (関数の極限) 変数を
に近づけるとき, その近づけ方に依らず全て同じ極限となるとき, すなわち
(111)
が成り立つとき, そのときに限りにおける関数
の極限が存在し,
と書く. 極限が存在するとき次のように表現する:
が
に限りなく近づくとき,
関数 には極限が存在し,その極限値は
である.
(113) (114) (115) ![]()
は
において
に収束する(convergent).
(116)
収束しないとき発散する(divergent)という.
例 2.53 (関数の極限の具体例) 関数を考える. このとき
(117)
となる. 右からの極限も左からの極限も存在し同じ値となる. よって
(118)
である.
例 2.54 (関数の極限の具体例) 関数
(119)
を考える.のとき
であるから 右極限は
(120)
となる.のとき
であるから 左極限は
(121)
となる. 右極限と左極限が一致しないので, 極限は存在しない.
例 2.55 (関数の極限の具体例) 関数
(122)
を考える.のとき
である.
であるから
は
と
の間を振動する. よって右極限
は存在しない.
のとき
である. 以下同様で左極限
は存在しない. 右極限も左極限も存在しないので, 極限
は存在しない.
定理 2.56 (関数の極限に関する性質) 関数,
に関して極限
(123)
が存在するならば,
(124) (125) (126) (127) (128)
が成り立つ. ただし,,
は定数である.
例 2.57 (関数の極限の計算例)
(129) (130) (131) 変数
の値が正で限りなく大きくなるとき
と書く. 変数
の値が負で限りなく小さくなるとき
と書く. また, 変数
の値が正で限りなく大きくなるとき
と書く. 変数
の値が負で限りなく小さくなるとき
と書く.
例 2.58 (関数の極限の計算例)
(132) (133) (134) (135) (136) (137) :存在ない
(138) (139) (140) (141)
公式 2.59 (ネピア数)
(142)
公式 2.60
(143)
問 2.61 参考書(p.31)問題 2-3.
問 2.62 (関数の極限の計算)
(144) (145) (146) (147) (148) (149) (150) (151) (152) (153) (154) (155) (156) (157) (158) (159) (160) (161) (162)
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Created at 2004/08/14