16 関数の極限

定義 2.51 (右極限，左極限)   変数 $x$ を右から $a$ に近づけたときの $f(x)$ の値が $b$ に近づくとき

$$\lim_{x\to a+0}f(x)=b$$ (108)

と書き，右極限（right-hand limit）と呼ぶ． 同様に， 変数 $x$ を左から $a$ に近づけたときの $f(x)$ の値が $b$ に近づくとき

$$\lim_{x\to a-0}f(x)=b$$ (109)

と書き，左極限（left-hand limit）と呼ぶ．

また略記として

$$f(a+0)=\lim_{x\to a+0}f(x)\,,\qquad f(a-0)=\lim_{x\to a-0}f(x)$$ (110)

と書くこともある．

定義 2.52 (関数の極限)   変数 $x$ を $a$ に近づけるとき， その近づけ方に依らず全て同じ極限となるとき， すなわち

$$\lim_{x\to a+0}f(x)= \lim_{x\to a-0}f(x)=b$$ (111)

が成り立つとき， そのときに限り $x\to a$ における関数 $f(x)$ の極限が存在し，

$$\lim_{x\to a}f(x)=b$$ (112)

と書く． 極限が存在するとき次のように表現する：

$$x a$$

$$f(x) b$$ (113)

$$\Leftrightarrow \displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=b}.$$ (114)

$$\Leftrightarrow f(x) \to b \quad (x\to a).$$ (115)

$$\Leftrightarrow f(x) x\to a b$$ (116)

収束しないとき発散する（divergent）という．

例 2.53 (関数の極限の具体例)   関数 $f(x)=x^2$ を考える． このとき

$$\lim_{x\to2-0}f(x)=\lim_{x \to2+0}f(x)=4\,$$ (117)

となる． 右からの極限も左からの極限も存在し同じ値となる． よって

$$\lim_{x\to2}f(x)=4\,$$ (118)

である．

例 2.54 (関数の極限の具体例)   関数

$$f(x)=\frac{\vert x\vert}{x}\quad(x\ne0)$$ (119)

を考える． $x>0$ のとき $f(x)=x/x=1$ であるから 右極限は

$$\lim_{x\to+0}f(x)=1\,$$ (120)

となる． $x<0$ のとき $f(x)=(-x)/x=-1$ であるから 左極限は

$$\lim_{x\to-0}f(x)=-1\,$$ (121)

となる． 右極限と左極限が一致しないので， 極限 $${\lim_{x\to0}f(x)}$$ は存在しない．

例 2.55 (関数の極限の具体例)   関数

$$f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,$$ (122)

を考える． $x\to+0$ のとき $1/x\to+\infty$ である． $1/x\to+\infty$ であるから $f(x)$ は $1$ と $-1$ の間を振動する． よって右極限 $${\lim_{x \to +0}f(x)}$$は存在しない． $x\to-0$ のとき $1/x\to-\infty$ である． 以下同様で左極限 $${\lim_{x \to -0}f(x)}$$ は存在しない． 右極限も左極限も存在しないので， 極限 $${\lim_{x \to 0}f(x)}$$ は存在しない．

定理 2.56 (関数の極限に関する性質)   関数 $f(x)$, $g(x)$ に関して極限

$$\lim_{x\to a}f(x)=A\,, \qquad \lim_{x\to a}g(x)=B$$ (123)

が存在するならば，

$$\lim_{x\to a}\alpha f(x)=\alpha\lim_{x\to a}f(x)=\alpha A\,,$$ (124)

$$\lim_{x\to a}\left(f(x)+g(x)\right)= \lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)=A+B\,,$$ (125)

$$\lim_{x\to a}\left(\alpha f(x)+\beta g(x) \right)= \alpha \lim_{x\to a}f(x)+\beta \lim_{x\to a}g(x)= \alpha A+\beta B\,,$$ (126)

$$\lim_{x\to a}\left( f(x)g(x)\right)= \left(\lim_{x\to a}f(x)\right)\left(\lim_{x\to a} g(x)\right)=AB\,,$$ (127)

$$\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)= \frac{\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)}} {\displaystyle{\lim_{x\to a}g(x)}}=\frac{A}{B}$$ (128)

が成り立つ． ただし，$\alpha$, $\beta$ は定数である．

例 2.57 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to2}\left(3x+5\right)= 3\lim_{x\to2}x+5=11\,.$$ (129)

$$\lim_{x\to2}(x+7)(x-3)= \lim_{x\to2}(x+7)\times\lim_{x\to2}(x-3)=9\times(-1)=-9 \,.$$ (130)

$$\lim_{x\to2}\frac{x^2-1}{x^2+2}= \frac{\displaystyle{\lim_{x\to2}(x^2-1)}} {\displaystyle{\lim_{x\to2}(x^2+2)}}= \frac{3}{6}=\frac{1}{2}\,.$$ (131)

変数 $x$ の値が正で限りなく大きくなるとき $x\to+\infty$ と書く． 変数 $x$ の値が負で限りなく小さくなるとき $x\to-\infty$ と書く． また， 変数 $f(x)$ の値が正で限りなく大きくなるとき $f(x)\to+\infty$ と書く． 変数 $f(x)$ の値が負で限りなく小さくなるとき $f(x)\to-\infty$ と書く．

例 2.58 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0\,, \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0\,.$$ (132)

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0\,, \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^2}=0\,.$$ (133)

$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^2}\sin x=0\,.$$ (134)

$$\lim_{x\to+\infty}e^{ax}=0\quad(a<0)\,, \lim_{x\to+\infty}e^{ax}=\infty\quad(a>0)\,,$$ (135)

$$\lim_{x\to-\infty}e^{ax}=\infty\quad(a<0)\,, \lim_{x\to-\infty}e^{ax}=0\quad(a>0)\,.$$ (136)

$$\lim_{x\to a+0}\frac{1}{x-a}=\infty\,, \lim_{x\to a-0}\frac{1}{x-a}=-\infty\,,$$ (137)

$$\lim_{x\to a}\frac{1}{x-a} .$$ (138)

$$\lim_{x\to a\pm0}\frac{1}{(x-a)^2}=\infty\,, \lim_{x\to a}\frac{1}{(x-a)^2}=\infty\,.$$ (139)

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x-2}{x+1}= \lim_{x\to\infty}\frac{1-2/x}{1+1/x}=1\,.$$ (140)

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-2}{x+1}= \lim_{x\to\infty}\frac{x-2/x}{1+1/x}=\infty\,.$$ (141)

公式 2.59 (ネピア数)  

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e\,$$ (142)

公式 2.60  

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\,$$ (143)

問 2.61   参考書（p.31）問題 2-3.

問 2.62 (関数の極限の計算)  

$$(1)\quad \lim_{x\to a} \left(c_{N}\,x^{N}+c_{N-1}\,x^{N-1}+\cdots+ c_{2}\,x^2+c_{1}\,x+c_{0}\right)$$ (144)

$$(2)\quad \lim_{x\to\infty} \frac{x^2+3x+1}{x-5}$$ (145)

$$(3)\quad \lim_{x\to-\infty} \frac{x^2-x}{2x^2+3}$$ (146)

$$(4)\quad \lim_{x\to-\infty} \frac{x^2+2}{x^5-4x^2+1}$$ (147)

$$(5)\quad \lim_{x\to+0} \frac{x+3}{x^2-1}$$ (148)

$$(6)\quad \lim_{x\to-0} \frac{x^3+2x}{x^5-3x^2}$$ (149)

$$(7)\quad \lim_{x\to-0} \frac{5x^4-x^3}{2x^3-x^2}$$ (150)

$$(8)\quad \lim_{x\to1+0} \frac{x^2-1}{x^2+x-2}$$ (151)

$$(9)\quad \lim_{x\to1+0} \frac{x^3-x^2-x+1}{x^2+x-2}$$ (152)

$$(10)\quad \lim_{x\to1+0} \frac{x^2-1}{x^3-3x+2}$$ (153)

$$(11)\quad \lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$$ (154)

$$(12)\quad \lim_{x\to\infty} \frac{x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$$ (155)

$$(13)\quad \lim_{x\to0} \frac{\sin 2x+x\cos x+\tan 4x}{x+\sin 3x}$$ (156)

$$(14)\quad \lim_{x\to+0} \frac{\log(1+x)}{x}$$ (157)

$$(15)\quad \lim_{x\to0} \frac{e^x-1}{x}$$ (158)

$$(16)\quad \lim_{x\to+0} \frac{2}{1+e^{-1/x}}$$ (159)

$$(17)\quad \lim_{x\to\infty} \frac{2x-1+e^{x}}{x^3-5x+1}$$ (160)

$$(18)\quad \lim_{x\to\infty} \frac{x^3-5x+1}{2x-1+\log x}$$ (161)

$$(19)\quad \lim_{x\to\infty} \frac{2x-1+e^{x}}{2x-1+\log x}$$ (162)

Kondo Koichi
Created at 2004/08/14