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17 連続と不連続

定義 2.63 (関数の連続性)   次の条件を満たすとき，関数 $ f(x)$ は点 $ x=a$ において 連続（continuous）であるという．
(i)
$ f(a)$ が定義されている．
(ii)
$ \displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)}$ が存在する．
すなわち $ \displaystyle{\lim_{x\to a+0}f(x)}$ と $ \displaystyle{\lim_{x\to a-0}f(x)}$ が存在し，それらの値が等しい．
(iii)
$ \displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)}=f(a)$ が成立する．
すなわち $ f(a)=\displaystyle{\lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to a-0}f(x)}$ が 成立する．
連続ではない場合は不連続（discontinuous）であるいう．

例 2.64 (連続な点の具体例)   $ f(x)=x^2$ は $ x=2$ において連続である． なぜなら

$\displaystyle f(2)=\displaystyle{\lim_{x\to2+0}f(x)=\lim_{x\to2-0}f(x)}=4$ (163)

が成り立つからである．

例 2.65 (不連続な点の具体例)   $ f(x)=\displaystyle{\frac{1}{x-2}}\ (x\neq 2)$ は $ x=2$ において不連続である． なぜなら $ f(2)$ は定義されていない． さらには $ \displaystyle{\lim_{x\to2+0}f(x)\neq \lim_{x\to2-0}f(x)}$ となるからである．

例 2.66 (不連続点の除去の具体例)   $ f(x)=\displaystyle{\frac{\sin x}{x}}\ (x\neq 0)$ は $ x=0$ において 不連続である．なぜなら $ f(0)$ が定義されていないからである． しかし $ f(x)$ を

$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} \displaystyle{\frac{\sin x}{x}} & (x\neq 0)\\ [1em] 1 & (x=0) \end{array} \right.$ (164)

と定義すると $ f(x)$ は $ x=0$ において連続となる． なぜなら $ f(0)=\displaystyle{\lim_{x\to+0}f(x)=\lim_{x\to-0}f(x)=1}$ が 成立するからである． 再定義することにより不連続な点 $ x=0$ は取り除かれた．

例 2.67 (不連続点を除去できない具体例)   $ \displaystyle{f(x)=\frac{1}{x-1}\ (x\neq a)}$ は点 $ x=a$ において不連続である． 点 $ x=a$ における値を $ f(a)=b$ と定義することにする． うまく $ b$ を定めることにより不連続点は取り除くことができるであろうか． $ \displaystyle{\lim_{x\to a+0}f(x)=+\infty}$, $ \displaystyle{\lim_{x\to a-0}f(x)=-\infty}$ であるので， 点 $ x=a$ の左右で極限がことなる．よってどのように $ f(a)=b$ を定めても 不連続な点を取り除くことはできない．

例 2.68 (不連続点の除去の具体例)   $ \displaystyle{f(x)=\frac{x-1}{x-1}\ (x\neq1)}$ を考える． $ f(x)$ は点 $ x=1$ において不連続である． しかし $ f(x)$ は分子分母が等しいので， $ x\neq1$ となる点において $ f(x)=1$ である．よって $ \displaystyle{\lim_{x\to1\pm0}f(x)=1}$ となる． ゆえに点 $ x=1$ の値を $ f(1)=1$ と定義すれば不連続点は取り除かれる． 結局，点 $ x=1$ はみかけ上の不連続点であり本質的な不連続点ではない．

問 2.69   参考書（p.36）問題 2-5.

問 2.70 (不連続点の除去の例)   次の関数を $ x=0$ で連続となるように $ f(0)$ の値を定義せよ．

$\displaystyle (1)\quad$ $\displaystyle f(x)=\frac{\tan x}{x}\quad(x\neq0)$ (165)
$\displaystyle (2)\quad$ $\displaystyle f(x)=x\,\sin\frac{1}{x}\quad(x\neq0)$ (166)
$\displaystyle (3)\quad$ $\displaystyle f(x)=\frac{x^3-1}{x}+\frac{x+1}{x}\quad(x\neq0)$ (167)

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Kondo Koichi
Created at 2004/08/14