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13 直線の方程式
定義 1.51 (直線)空間内の点
の位置ベクトルが
(67)
と表されるとき, 点の軌跡を直線(line)という.
を方向ベクトル(tangent vector)という.
注意 1.52 (の直線の方程式) 直線
を考える. ここで
(68)
とおく.は点
を通り 方向ベクトルが
の直線である.
(69)
より,についてまとめると 直線の方程式は
(70)
と表される. これはの直線の方程式 である.
問 1.53 (の直線の方程式の具体例) 点
を通り 方向ベクトルが
の 直線の方程式を求めよ.
例 1.54 (の直線の方程式の具体例) 点
,
を通る直線の方程式を考える. 直線は点
を通り,方向ベクトルは
である. すなわち,
(71)
とおく. 直線の方程式のパラメータ表示は
(72)
である.を消去して 直線の方程式の成分表示は
(73)
である.
注意 1.55 (の直線の方程式) 直線
を考える. このとき
(74)
とおく.の直線の方程式は
(75)
と表される. この式は 点を通り 方向ベクトルが
であることが 分かり易い形である.
式変形をする.
,
,
とおく. すると
(76)
であり,または
(77)
となる. この式はを用いると
(78)
とも表される.であるから, ベクトル
は
を満たす. すなわち
は方向ベクトル
と直交する. 方向ベクトルと直交するベクトルを 法線ベクトル(normal vector)という.
さらに式変形する.
とおく. すると
(79)
と表される. この式はは
についての
次関数であることと, 直線は点
を通り 傾きが
であることが分かり易い形である.
問 1.56 (の直線の方程式) 点
を通り方向ベクトルが
の 直線の方程式を求めよ.
問 1.57 (の直線の方程式) 点
を通り法線ベクトルが
の 直線の方程式を求めよ.
問 1.58 (の直線の方程式の具体例) 点
,
を通る直線の方程式を考える. まず
(80)
とおく.は方向ベクトルである. 直線の方程式のパラメータ表示は
(81)
である.とおき
を消去すると, 直線の方程式の成分表示は
(82)
であり,変形して
(83)
である.法線ベクトルはである.
定義 1.59 (単位方向ベクトル,単位法線ベクトル) 長さがの方向ベクトルを 単位方向ベクトル(unit tangent vector)という. 長さが
の法線ベクトルを 単位法線ベクトル(unit normal vector)という.
例 1.60 方程式
(84)
の単位方向ベクトルは
(85)
であり, 単位法線ベクトルは
(86)
である.
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Created at 2004/11/26