2.5 逆写像

定義 2.16 (逆写像)   写像 $ f$ に対して

$\displaystyle g\circ f=\mathrm{id.}$ (31)

をみたす写像 $ g$ が存在するとき, 写像 $ g$$ g=f^{-1}$ と表記し, $ f$逆写像(inverse mapping)という.

定理 2.17 (逆写像)   写像 $ f$ が全単射のとき逆写像 $ f^{-1}$ は存在する.

2.18 (逆写像)   写像 $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\,x\mapsto y=f(x)=ax+b$ の逆写像は $ f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\,y\mapsto x=f^{-1}(y)=(y-b)/a$ である.

2.19 (逆写像)   写像 $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\,x\mapsto y=f(x)=x^2$ は 全単射ではないので逆写像は存在しない. ただし,集合 $ \mathbb{R}$ を非負に制限した集合 $ \mathbb{R}_{\geq0}$ に おける写像 $ f:\mathbb{R}_{\geq0}\to\mathbb{R}_{\geq0};\,x\mapsto y=f(x)=x^2$ を考えれば,この逆写像は $ f^{-1}:\mathbb{R}_{\geq0}\to\mathbb{R}_{\geq0};\,
y\mapsto x=f^{-1}(y)=\sqrt{x}$ となる.



Kondo Koichi
平成17年8月31日