2.6 関数

関数(function)とは, ある値 $ x$ が与えられたとき, 何らかの演算規則 $ f$ に従って値 $ y$ を定め, その値 $ y$ を返す機能のことである. 関数は

$\displaystyle y=f(x)$ (32)

と書き表される. 例えばある関数を $ f(x)=x^3-2x+5$ と書くことにすると,

$\displaystyle f(1)$ $\displaystyle =1^3-2\times1+5=4\,x$   $\displaystyle \to$ $\displaystyle y$ $\displaystyle =4$ (33)
$\displaystyle f(0)$ $\displaystyle =0^3-2\times0+5=5\,$   $\displaystyle \to$ $\displaystyle y$ $\displaystyle =5$ (34)
$\displaystyle f(-2)$ $\displaystyle =(-2)^3-2\times(-2)+5=1\,$   $\displaystyle \to$ $\displaystyle y$ $\displaystyle =1$ (35)
$\displaystyle f(a)$ $\displaystyle =a^3-2a+5\,$   $\displaystyle \to$ $\displaystyle y$ $\displaystyle =a^3-2a+5\,$ (36)

のように, $ f(x)$ の左辺の括弧内の $ x$ がある数に書き置き換われば, 右辺の $ x$ もその数に置き換わる. そしてそれぞれの $ x$ に応じて値 $ y$ が定まる.

入力 $ x$ にある変換 $ f$ を作用させ出力 $ y$ を返す.これを

$\displaystyle f:x\mapsto y$   または$\displaystyle \qquad x\overset{f}{\mapsto} y$ (37)

と表す.

定義 2.20 (関数に関する名称)   関数 $ y=f(x)$ に関連して次の名称を定義する:

2.21 (関数に関する名称の具体例)   関数 $ y=f(x)=ax^2+b$ を考える. このとき $ a$, $ b$ は定数であり,$ x$, $ y$ は変数である. また $ x$ は独立変数であり,$ y$ は従属変数である. 定義域は $ -\infty<x<\infty$ であり, 値域は $ b\le y<\infty$ である.

定義 2.22 (グラフ)   $ x$$ y$を 直角に交わるように描き $ xy$ 平面 を用意する. 変数 $ x$ の値を定義域内で変化させ,点 $ (x,y)=(x,f(x))$ の軌跡を $ xy$ 平面内に描く. この曲線を関数 $ f(x)$グラフ(graph)と呼ぶ.

Kondo Koichi
平成17年8月31日