2.28 連続と不連続

定義 2.88 (関数の連続性)   次の条件を満たすとき,関数 $ f(x)$ は点 $ x=a$ において 連続(continuous)であるという.
(i)
$ f(a)$ が定義されている.
(ii)
$ \displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)}$ が存在する.
すなわち $ \displaystyle{\lim_{x\to a+0}f(x)}$ $ \displaystyle{\lim_{x\to a-0}f(x)}$ が存在し,それらの値が等しい.
(iii)
$ \displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)}=f(a)$ が成立する.
すなわち $ f(a)=\displaystyle{\lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to a-0}f(x)}$ が 成立する.
連続ではない場合は不連続(discontinuous)であるいう.

2.89 (連続な点の具体例)   $ f(x)=x^2$$ x=2$ において連続である. なぜなら

$\displaystyle f(2)=\displaystyle{\lim_{x\to2+0}f(x)=\lim_{x\to2-0}f(x)}=4$ (171)

が成り立つからである.

2.90 (不連続な点の具体例)   $ f(x)=\displaystyle{\frac{1}{x-2}}\ (x\neq 2)$$ x=2$ において不連続である. なぜなら $ f(2)$ は定義されていない. さらには $ \displaystyle{\lim_{x\to2+0}f(x)\neq \lim_{x\to2-0}f(x)}$ となるからである.



Kondo Koichi
平成17年8月31日