5.3 テイラー級数の導出

巾級数

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n}$ (568)

を考える. 関数 $ f(x)$ が与えられたとし, テイラー級数の係数 $ \{c_{n}\}$ を導出する. $ x$$ a$ に十分近いとき $ (x-a)^{n}$ は 次数 $ n$ が大きいほど小さくなる. つまり小さい次数の項が主要な項となる. よって小さい次数の係数より順に値を定めて行く.

まず巾級数

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^2+c_{3}(x-a)^3+ c_{4}(x-a)^4+c_{5}(x-a)^5+\cdots$ (569)

$ x=a$ を代入する.すると

$\displaystyle f(a)$ $\displaystyle =c_{0}+0+0+\cdots=c_{0}$ (570)

となる.よって係数を $ c_{0}=f(a)$ と定める. 巾級数は

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =f(a)+ c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^2+c_{3}(x-a)^3+ c_{4}(x-a)^4+c_{5}(x-a)^5+\cdots$ (571)

となる. 両辺を微分すると

$\displaystyle f'(x)$ $\displaystyle = c_{1}+2c_{2}(x-a)+3c_{3}(x-a)^2+ 4c_{4}(x-a)^3+5c_{5}(x-a)^4+\cdots$ (572)

を得る.ここに $ x=a$ を代入すると

$\displaystyle f'(a)$ $\displaystyle =c_{1}+0+0+\cdots=c_{1}$ (573)

となるので係数を $ c_{1}=f'(a)$ と定める. このとき巾級数とその導関数は

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =f(a)+ f'(a)(x-a)+c_{2}(x-a)^2+c_{3}(x-a)^3+ c_{4}(x-a)^4+c_{5}(x-a)^5+\cdots$ (574)
$\displaystyle f'(x)$ $\displaystyle = f'(a)+2c_{2}(x-a)+3c_{3}(x-a)^2+ 4c_{4}(x-a)^3+5c_{5}(x-a)^4+\cdots$ (575)

となる. これで $ 1$ 次の項までの係数が定まった. $ f(x)$ の最初の二つの項までをみると $ x=a$ における接線の方程式となっている. 次に $ 2$ 階,$ 3$ 階の導関数と求めて行くと

$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle = 2\cdot c_{2}+ 3\cdot2\cdot c_{3}(x-a)+ 4\cdot3\cdot c_{4}(x-a)^2+ 5\cdot4\cdot c_{5}(x-a)^3+ \cdots$ (576)
$\displaystyle f'''(x)$ $\displaystyle = 3\cdot2\cdot c_{3}+ 4\cdot3\cdot2\cdot c_{4}(x-a)+ 5\cdot4\cdot3\cdot c_{5}(x-a)^2+ \cdots$ (577)
$\displaystyle f^{(4)}(x)$ $\displaystyle = 4\cdot3\cdot2\cdot c_{4}+ 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot c_{5}(x-a)+ \cdots$ (578)
$\displaystyle f^{(5)}(x)$ $\displaystyle = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot c_{5}+\cdots$ (579)

となる.$ x=a$ を代入すると

$\displaystyle f''(a)$ $\displaystyle = 2\cdot c_{2}+0+0+\cdots$ (580)
$\displaystyle f'''(a)$ $\displaystyle = 3\cdot2\cdot c_{3}+0+0+\cdots$ (581)
$\displaystyle f^{(4)}(a)$ $\displaystyle = 4\cdot3\cdot2\cdot c_{4}+0+0+\cdots$ (582)
$\displaystyle f^{(5)}(a)$ $\displaystyle = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot c_{5}+0+0+\cdots$ (583)

となるので係数が

$\displaystyle c_{2}$ $\displaystyle =\frac{f''(a)}{2!}\,,\quad c_{3}=\frac{f'''(a)}{3!}\,,\quad c_{4}=\frac{f^{(4)}(a)}{4!}\,,\quad c_{5}=\frac{f^{(5)}(a)}{5!}$ (584)

と定まる. 同様な操作を繰り返せば

$\displaystyle c_{n}$ $\displaystyle =\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ (585)

を得る.

Kondo Koichi
平成17年8月31日