5.4 指数関数のテイラー級数

例 5.8 (指数関数のテイラー級数)  

$$e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+ \frac{x^n}{n!}+\cdots \quad (\vert x\vert<\infty)\,.$$ (586)

（導出） $f(x)=e^{x}$ とおく． 導関数を計算すると

$$f(x)=e^{x}\,,\quad f'(x)=e^{x}\,,\quad f''(x)=e^{x}\,,\quad f'''(x)=e^{x}\,,\quad \cdots\quad f^{(n)}(x)=e^{x}$$ (587)

となる． 点 $x=0$ における微分係数は

$$f(0)=1\,,\quad f'(0)=1\,,\quad f''(0)=1\,,\quad f'''(0)=1\,,\quad \cdots\quad f^{(n)}(0)=1$$ (588)

である． よってテーラー級数は

$$f(x) =e^{x}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}= \sum_{n=0}... ...frac{1}{n!}x^{n}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$$ (589)

と求まる． 巾級数 $\sum c_{n}(x-a)^n$ の 収束半径 $r$ を求める． 係数は

$$c_{n}=\frac{1}{n!}$$ (590)

であるから， 収束半径として

$$r = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \... ...o\infty} \left\vert\frac{(n+1)!}{n!}\right\vert= \lim_{n\to\infty} (n+1)=\infty$$ (591)

を得る．

例 5.9 (指数関数のテイラー級数)   $e^x$ の $x=1$ まわりでのテイラー級数は，

$$f(1)=e\,,\quad f'(1)=e\,,\quad f''(1)=e\,,\quad f'''(1)=e\,,\quad \cdots\quad f^{(n)}(1)=e$$ (592)

より，

$$e^{x} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n$$ (593)

$$= e+e(x-1)^2+\frac{e}{2}(x-1)^2+ \frac{e}{6}(x-1)^3+\cdots+ \frac{e}{n!}(x-1)^n+\cdots$$ (594)

である． 収束半径は

$$r = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \... ...eft\vert\frac{e}{n!}\frac{(n+1)!}{e}\right\vert= \lim_{n\to\infty} (n+1)=\infty$$ (595)

である．

Kondo Koichi
平成17年8月31日