5.5 三角関数のマクローリン級数

5.10 (三角関数のテイラー級数)  

$\displaystyle \sin x$ $\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}= x-\frac{...
...cdots+ \frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots \quad (\vert x\vert<\infty)\,.$ (596)
$\displaystyle \cos x$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}= 1-\frac{x^2}{2...
...{4!}+\cdots+ \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}+\cdots \quad (\vert x\vert<\infty)\,.$ (597)

(導出) $ f(x)=\sin x$ とおく. 導関数を計算すると

$\displaystyle f(x)=\sin x\,,\quad f'(x)=\cos x\,,\quad f''(x)=-\sin x\,,\quad f'''(x)=-\cos x\,,\quad f^{(4)}(x)=\sin x\,,\quad \cdots$ (598)

である.一般的に書くと

$\displaystyle f^{(n)}(x)$ $\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} \sin x & (n=4k) \\ \cos x & (n=4k+1) \...
...x & (n=4k+2) \\ -\cos x & (n=4k+3) \end{array}\right. \qquad (k=0,1,2,3,\cdots)$ (599)

である.点 $ x=0$ における微分係数は

$\displaystyle f^{(n)}(0)$ $\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} 0 & (n=4k) \\ 1 & (n=4k+1) \\ 0 & (n=4k+2) \\ -1 & (n=4k+3) \end{array}\right. \qquad (k=0,1,2,3,\cdots)$ (600)

と求まる. これを用いてテーラー級数を求めると

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ (601)
  $\displaystyle \qquad (n=4k,n=4k+1,n=4k+2,n=4k+3;k=0,1,2,\cdots)$ (602)
  $\displaystyle = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(4k)}(0)}{(4k)!}x^{4k}+ \sum_{k=0}^...
...(0)}{(4k+2)!}x^{4k+2}+ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(4k+3)}(0)}{(4k+3)!}x^{4k+3}$ (603)
  $\displaystyle = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)!}x^{4k+1} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{-1}{(4k+3)!}x^{4k+3}$ (604)
  $\displaystyle = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2(2k)+1)!}x^{2(2k)+1} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{-1}{(2(2k+1)+1)!}x^{2(2k+1)+1}$ (605)
  $\displaystyle \qquad (l=2k,l=2k+1;k=0,1,2,\cdots)$ (606)
  $\displaystyle = \sum_{l=0}^{\infty}\frac{(-1)^{l}}{(2l+1)!}x^{2l+1}$ (607)
  $\displaystyle \qquad (l=n-1;n=1,2,3,\cdots)$ (608)
  $\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}$ (609)

を得る. 収束半径を求める.

$\displaystyle c_{n}$ $\displaystyle =\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}$ (610)

とおくと

$\displaystyle r$ $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert = ...
... \frac{(2n+1)!}{(-1)^{n}}\right\vert= \lim_{n\to\infty} \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}$ (611)
  $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} (2n+1)(2n) = \lim_{n\to\infty} (4n^2+2n) =\infty$ (612)

が得られる.

Kondo Koichi
平成17年8月31日