2.21 斜交座標

$ 2$ 次元ユークリッド空間に 普通に導入する座標 $ xy$ は, 標準基底

$\displaystyle \vec{e}_x= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \vec{e}_y= \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}$    

における座標である. 座標を $ (x,y)$ とすると任意のベクトルは

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad \vec{p}= x\vec{e}_x+y\vec{e}_y= \begin{bmatrix}\vec{e}_x ...
...trix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}$    

と表される. 一方, 基底

$\displaystyle \vec{e}_u= \begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \end{bmatrix}, \qquad \vec{e}_v= \begin{bmatrix}\gamma \\ \delta \end{bmatrix}$    

における座標を $ (u,v)$ とおくと, 任意のベクトルは

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad \vec{p}= u\vec{e}_{u}+v\vec{e}_{v}= \begin{bmatrix}\vec{e...
...ix} \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix}$    

と表される. ベクトル $ \vec{p}$ は同じものであるから, (☆), (★)より

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\alph...
...ix} \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix}$    

が成り立つ. 基底 $ \vec{e}_u$, $ \vec{e}_v$ は 1 次独立であるから, $ A$ は正則で逆行列 $ A^{-1}$ が存在し,

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatr...
... & -\gamma \\ -\beta & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}$    

が成り立つ. (○)を座標 $ (x,y)$ から座標 $ (u,v)$ への座標変換という. また,(●)を 座標 $ (u,v)$ から座標 $ (x,y)$ への座標変換という. 標準基底 $ \vec{e}_x$, $ \vec{e}_y$ $ \vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=0$ をみたし直交するから, 座標 $ xy$直交座標である. 基底 $ \vec{e}_u$, $ \vec{e}_v$ の 方向余弦

$\displaystyle \cos\theta= \frac{\vec{e}_u\cdot\vec{e}_v}{\Vert\vec{e}_u\Vert\Ve...
... \frac{\alpha\gamma+\beta\delta} {\sqrt{(\alpha^2+\beta^2)(\gamma^2+\delta^2)}}$    

は一般には 0 とはならないので, 座標 $ uv$斜交座標である.

2.78 (直交座標と斜交座標)   基底 $ \vec{e}_u$, $ \vec{e}_v$ に関して次の問に答えよ.

(1) $ \vec{e}_u$$ \vec{e}_v$ が直交する $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$, $ \delta$ の条件を求めよ.

(2) $ \vec{e}_u$, $ \vec{e}_v$ が単位ベクトルとなる $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$, $ \delta$ の条件を求めよ.

(3) $ \vec{e}_u$, $ \vec{e}_v$ が直交しかつ単位ベクトルとなる $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$, $ \delta$ の条件を求めよ.

2.79 (直交座標から斜交座標へのヤコビアン)   直交座標 $ xy$ から斜交座標 $ uv$ への座標変換(○)の ヤコビアンを求める. (○)より

$\displaystyle x=\alpha u+\gamma v, \qquad y=\beta u+\delta v$    

であるから,

$\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}=\alpha, \quad \frac{\partial y}{\pa...
...frac{\partial x}{\partial v}=\gamma, \quad \frac{\partial y}{\partial v}=\delta$    

となり, ヤコビアン

$\displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix}\frac{\partia...
...\beta \\ \gamma & \delta \end{vmatrix} = \det(A^{T}) = \alpha\delta-\beta\gamma$    

を得る.

2.80 (斜交座標における偏微分作用素)   直交座標 $ xy$ から斜交座標 $ uv$ への座標変換(○)を考える. 関数 $ z=f(x,y)$ における $ u$, $ v$ に関する偏導関数を求める. 導関数の微分則を用いると

$\displaystyle ($$\displaystyle ) \qquad z_u= \frac{\partial z}{\partial u}= \frac{\partial z}{\p...
...c{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = \gamma z_x+\delta z_y$    

を得る.この関係式は

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad \begin{bmatrix}z_u \\ z_v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}...
...matrix}z_x \\ z_y \end{bmatrix} = A^{T} \begin{bmatrix}z_x \\ z_y \end{bmatrix}$    

とも表される.また, ナブラ作用素

$\displaystyle \nabla_{(u,v)}= \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial u} \\ \fr...
...matrix}\frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \end{bmatrix}$    

を導入すれば

$\displaystyle \nabla_{(u,v)} z=A^{T}\nabla_{(x,y)} z$    

と簡潔に表される. 次に(△)において関数 $ z$ は任意でもよいので 関数を省略すると, 偏微分演算子の関係式

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial u}= \frac{\partial x}{\partial u} \frac{...
...rtial y} = \gamma\frac{\partial}{\partial x}+ \delta\frac{\partial}{\partial y}$    

を得る. この関係式は偏微分作用素に関する $ uv$ 座標から $ xy$ 座標への変換を表す. 点に関する座標変換(○)の逆向きの変換であることに注意する.

2.81 (斜交座標における偏微分作用素)   斜交座標 $ uv$ から直交座標 $ xy$ への座標変換(●)を考える. 関数 $ z=f(u,v)$ における $ x$, $ y$ に関する偏導関数を求める. (●)より座標変換は

$\displaystyle u= \frac{1}{\alpha\delta-\beta\gamma}(\delta x-\gamma y), \qquad v= \frac{1}{\alpha\delta-\beta\gamma}(-\beta x+\alpha y)$    

であるか,導関数の微分則を用いると

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad$ $\displaystyle z_x= \frac{\partial z}{\partial x}= \frac{\partial z}{\partial u}...
...al x} = \frac{1}{\alpha\delta-\beta\gamma} \left( \delta z_u-\beta z_v \right),$    
  $\displaystyle z_y= \frac{\partial z}{\partial y}= \frac{\partial z}{\partial u}...
...l y} = \frac{1}{\alpha\delta-\beta\gamma} \left( -\gamma z_u+\alpha z_v \right)$    

を得る.この関係式は

$\displaystyle \begin{bmatrix}z_x \\ z_y \end{bmatrix} = \frac{1}{\alpha\delta-\...
...atrix}z_u \\ z_v \end{bmatrix} = A^{-T} \begin{bmatrix}z_u \\ z_v \end{bmatrix}$    

とも表される. この結果は(♭)の両辺に $ A^{-T}$ を左から 掛けることでも得られる. また,ナブラ作用素を導入すると

$\displaystyle \nabla_{(x,y)}z=A^{-T}\nabla_{(u,v)}z$    

と簡潔に表される. 次に(▲)において関数 $ z$ は任意で成り立つので 省略すると, 偏微分作用素の関係式

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad$ $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial x} \frac{...
...t( \delta\frac{\partial}{\partial u}- \beta\frac{\partial}{\partial v} \right),$    
  $\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}= \frac{\partial u}{\partial y} \frac{...
...( -\gamma\frac{\partial}{\partial u}+ \alpha\frac{\partial}{\partial v} \right)$    

を得る. この関係式は偏微分作用素に関する $ xy$ 座標から $ uv$ 座標への変換を表す. 点に関する座標変換(●)の逆向きの変換であることに注意する.

2.82 (斜交座標への座標変換)   関数 $ z=f(x,y)$ に対して関数

$\displaystyle F(x,y)= \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = (z_x)^2+(z_y)^2$    

を考える. この関数を斜交座標 $ uv$ で表す. (▲)を代入すると

$\displaystyle F$ $\displaystyle = \left( \frac{1}{\alpha\delta-\beta\gamma} \left(\delta z_u-\bet...
...frac{1}{\alpha\delta-\beta\gamma} \left(-\gamma z_u+\alpha z_v\right) \right)^2$    
  $\displaystyle = \frac{(\delta^2+\gamma^2)(z_u)^2+ (\alpha^2+\beta^2)(z_v)^2- 2(\beta\delta+\alpha\gamma)z_uz_v} {(\alpha\delta-\beta\gamma)^2}$    
  $\displaystyle = \frac{\gamma^2+\delta^2}{(\alpha\delta-\beta\gamma)^2} \left(\f...
...a^2}{(\alpha\delta-\beta\gamma)^2} \left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)^2$    

を得る.

2.83 (斜交座標への座標変換)   この関数 $ F$ が斜交座標 $ uv$

$\displaystyle F= \left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^2+ \left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)^2$    

と表されるための $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$, $ \delta$ の必要十分条件は, 基底 $ \vec{e}_u$, $ \vec{e}_v$ が 正規直交基底であることを示せ. またこのとき,行列 $ A$ は直交行列となる($ AA^{T}=E$ をみたす) ことを示せ.

2.84 (斜交座標におけるラプラシアン)   関数 $ z=f(x,y)$ に対して関数

$\displaystyle F(x,y)= \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = z_{xx}+z_{yy}$    

を考える. この関数を斜交座標 $ uv$ で表す. (◎)より

$\displaystyle z_{xx}$ $\displaystyle = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial x} ...
...( \delta\frac{\partial}{\partial u}- \beta\frac{\partial}{\partial v} \right) z$    
  $\displaystyle = \frac{1}{(\alpha\delta-\beta\gamma)^2} \left( \delta\frac{\part...
...ta^2 z_{uu}-2\beta\delta z_{uv}+\beta^2 z_{vv}} {(\alpha\delta-\beta\gamma)^2},$    
$\displaystyle z_{yy}$ $\displaystyle = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}= \frac{\partial}{\partial y} ...
... -\gamma\frac{\partial}{\partial u}+ \alpha\frac{\partial}{\partial v} \right)z$    
  $\displaystyle = \frac{1}{(\alpha\delta-\beta\gamma)^2} \left( -\gamma\frac{\par...
...a^2 z_{uu}-2\alpha\gamma z_{uv}+\alpha^2 z_{vv}} {(\alpha\delta-\beta\gamma)^2}$    

となるらか,

$\displaystyle F$ $\displaystyle =z_{xx}+z_{yy}= \frac{(\delta^2+\gamma^2)z_{uu}- 2(\alpha\gamma+\beta\delta)z_{uv}+ (\alpha^2+\beta^2)z_{vv}} {(\alpha\delta-\beta\gamma)^2}$    
  $\displaystyle = \frac{\gamma^2+\delta^2}{(\alpha\delta-\beta\gamma)^2} \frac{\p...
...lpha^2+\beta^2}{(\alpha\delta-\beta\gamma)^2} \frac{\partial^2 z}{\partial v^2}$    

を得る.

2.85 (斜交座標におけるラプラシアン)   直交座標 $ xy$ から斜交座標 $ uv$ への座標変換(○)を考える. このとき ラプラシアン(Laplacian)または ラプラス作用素(Laplace operator) と呼ばれる 偏微分作用素

$\displaystyle \triangle= \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}$    

$ uv$ 座標への変換を行う. 前例題において関数 $ z$ は任意であるから,

$\displaystyle \triangle= \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\pa...
...\alpha^2+\beta^2}{(\alpha\delta-\beta\gamma)^2} \frac{\partial^2}{\partial v^2}$    

を得る.

2.86 (斜交座標におけるラプラシアン)   斜交座標 $ uv$ におけるラプラシアンが

$\displaystyle \triangle= \frac{\partial^2}{\partial u^2}+ \frac{\partial^2}{\partial v^2}$    

となるための $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$, $ \delta$ の必要十分条件は, 基底 $ \vec{e}_u$, $ \vec{e}_v$ が 正規直交基底であることを示せ. またこのとき,行列 $ A$ は直交行列となる($ AA^{T}=E$ をみたす) ことを示せ.

2.87 (斜交座標)   座標 $ (x,y)$ から斜交座標 $ (u,v)$ への座標変換

  $\displaystyle (1)\quad x=\sqrt{3}u-\sqrt{3}v, y=u+v$   $\displaystyle (2)\quad x=2u-v, y=u+2v$   $\displaystyle (3)\quad x=u-v, y=u+\sqrt{3}v$    

に対してそれぞれ,次の問に答えよ.

(i) $ u=0,\pm1,\pm2,\cdots$, $ v=0,\pm1,\pm2,\cdots$ をみたす $ (x,y)$ の軌跡をそれぞれ書け.

(ii) $ u$ 軸($ v=0$ の直線)と $ v$ 軸($ u=0$ の直線)の 方向ベクトルを求めよ.

(iii) $ u$ 軸と $ v$ 軸のなす角度を求めよ.

(iv) 座標 $ (u,v)=(1,1),(2,3),(-1,2),(-1,-3),(2,-1)$ に対して, 座標 $ (x,y)$ を求めよ.

(v) 座標 $ (x,y)=(1,1),(2,3),(-1,2),(-1,-3),(2,-1)$ に対して, 座標 $ (u,v)$ を求めよ.

(vi) 直線 $ x+2y=1$ を座標 $ (u,v)$ で表せ.

(vii) 曲線 $ x^2+y^2=1$ を座標 $ (u,v)$ で表せ.

(viii) ヤコビアン $ \displaystyle{
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}}$ を求めよ.

(ix) 偏微分作用素に関する座標 $ uv$ から座標 $ xy$ への 座標変換を求めよ.

(x) 偏微分作用素に関する座標 $ xy$ から座標 $ uv$ への 座標変換を求めよ.

(xi) 関数 $ z=f(x,y)$ に対する関数 $ \displaystyle{F=(z_x)^2+(z_y)^2}$ を座標 $ uv$ で表わせ.

(xii) 関数 $ z=f(x,y)$ に対する関数 $ \displaystyle{F=z_{xx}+z_{yy}}$ を座標 $ uv$ で表わせ.

(xiii) ラプラス作用素 $ \displaystyle{\triangle=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+
\frac{\partial^2}{\partial y^2}}$ を座標 $ uv$ で表わせ.

Kondo Koichi
平成18年1月18日