2.22 2 次元空間の極座標

定義 2.88 (極座標)   2 次元空間において, 直交座標 $ (x,y)$ から 極座標(polar coordinates) $ (r,\theta)$ への 座標変換は

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad x=r\cos\theta, \qquad y=r\sin\theta$    

で与えられる.

注意 2.89 (極座標)   極座標 $ (r,\theta)$ から 直交座標 $ (x,y)$ への座標変換は

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad r=\sqrt{x^2+y^2}, \qquad \theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}$    

と表される.

\includegraphics[width=0.5\textwidth]{polar2.eps}

2.90 (極座標のヤコビアン)   座標変換(☆)より

$\displaystyle \frac{\partial x}{\partial r}= \cos\theta, \quad \frac{\partial y...
...al \theta}= -r\sin\theta, \quad \frac{\partial y}{\partial \theta}= r\cos\theta$    

となるらか,ヤコビアンは

$\displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}= \begin{vmatrix}\frac{\p...
...a \\ -r\sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r\cos^2\theta+r\sin^2\theta = r$    

と得られる.

2.91 (極座標における偏微分作用素の変換)   座標 $ (x,y)$ から極座標 $ (r,\theta)$ への変換(☆)を考える. 関数 $ z=f(x,y)$$ r$, $ \theta$ に関して偏微分すると, 合成関数の微分則より

$\displaystyle ($$\displaystyle )\quad$ $\displaystyle z_r= \frac{\partial z}{\partial r}= \frac{\partial z}{\partial x}...
...al x}+ \sin\theta \frac{\partial z}{\partial y} = z_x\cos\theta+ z_y\sin\theta,$    
  $\displaystyle z_\theta= \frac{\partial z}{\partial \theta}= \frac{\partial z}{\...
...x}+ r\cos\theta \frac{\partial z}{\partial y} = -z_xr\sin\theta+ z_yr\cos\theta$    

が成り立つ.これは

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad \begin{bmatrix}z_r \\ z_\theta \end{bmatrix} = \begin{bma...
...in{bmatrix}z_x \\ z_y \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix}z_x \\ z_y \end{bmatrix}$    

とも表される. 行列 $ A$ の行列式がヤコビアンである. このとき,

  $\displaystyle \frac{\partial}{\partial r}z= \left( \cos\theta\frac{\partial}{\p...
...eta\frac{\partial}{\partial x}+ r\cos\theta\frac{\partial}{\partial y} \right)z$    

と書くと関数 $ z$ は任意であり省略すると

  $\displaystyle \frac{\partial}{\partial r}= \cos\theta\frac{\partial}{\partial x...
...-r\sin\theta\frac{\partial}{\partial x}+ r\cos\theta\frac{\partial}{\partial y}$    

となる. (★)を用いて右辺の $ r$, $ \theta$$ x$, $ y$ で表すと

  $\displaystyle \frac{\partial}{\partial r}= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \frac{\part...
...}{\partial \theta}= -y\frac{\partial}{\partial x}+ x\frac{\partial}{\partial y}$    

となる. これは偏微分作用素における 極座標 $ r\theta$ から座標 $ xy$ への座標変換である. 点に関する座標変換(☆)とは 変換の向きが異なることに注意する.

2.92 (極座標における偏微分作用素の変換)   極座標 $ (r,\theta)$ から座標 $ (x,y)$ への変換(★)を考える. 関数 $ z=f(r,\theta)$$ x$, $ y$ に関して偏微分すると, (★)と合成関数の微分則より

  $\displaystyle z_x= \frac{\partial z}{\partial x}= \frac{\partial z}{\partial r}...
...l z}{\partial \theta} = \frac{xz_r}{\sqrt{x^2+y^2}}- \frac{yz_\theta}{x^2+y^2},$    
  $\displaystyle z_y= \frac{\partial z}{\partial y}= \frac{\partial z}{\partial r}...
...al z}{\partial \theta} = \frac{yz_r}{\sqrt{x^2+y^2}}+ \frac{xz_\theta}{x^2+y^2}$    

が成り立つ. さらに(☆)を用いて右辺を $ r$, $ \theta$ で表すと

$\displaystyle ($$\displaystyle )\quad$ $\displaystyle z_x=z_r\cos\theta -\frac{z_\theta}{r}\sin\theta, \qquad z_y=z_r\sin\theta +\frac{z_\theta}{r}\cos\theta$    

となる. これは

$\displaystyle \begin{bmatrix}z_x \\ z_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos\the...
...}z_r \\ z_\theta \end{bmatrix} = B \begin{bmatrix}z_r \\ z_\theta \end{bmatrix}$    

とも表される. この式は(♭)の両辺に $ A^{-1}$ を左から掛けることでも 得られる.すなわち,$ B=A^{-1}$ となる. ここで,

  $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}z= \left( \cos\theta\frac{\partial}{\p...
...l}{\partial r}+ \frac{1}{r} \cos\theta\frac{\partial}{\partial \theta} \right)z$    

と書くと,関数 $ z$ は任意であり省略すると

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad$ $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}= \cos\theta\frac{\partial}{\partial r...
...c{\partial}{\partial r}+ \frac{1}{r} \cos\theta\frac{\partial}{\partial \theta}$    

を得る. これは偏微分作用素における 座標 $ xy$ から極座標 $ r\theta$ への座標変換である. 点に関する座標変換(★)とは 変換の向きが異なることに注意する.

2.93 (極座標への座標変換)   関数 $ z=f(x,y)$ に対して関数

$\displaystyle F(x,y)= \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = (z_x)^2+(z_y)^2$    

を考える. この関数を極座標 $ r\theta$ で表す. (▲)を代入すると

$\displaystyle F$ $\displaystyle = \left(z_r\cos\theta -\frac{z_\theta}{r}\sin\theta\right)^2+ \left(z_r\sin\theta +\frac{z_\theta}{r}\cos\theta\right)^2$    
  $\displaystyle = (\cos^2\theta+\sin^2\theta)(z_r)^2 -\frac{2\sin\theta\cos\theta...
...ta\cos\theta}{r} z_rz_\theta+ \frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{r^2}(z_\theta)^2$    
  $\displaystyle = (z_r)^2+\frac{(z_\theta)^2}{r^2} = \left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)^2+ \frac{1}{r^2} \left(\frac{\partial z}{\partial \theta}\right)^2$    

を得る.

2.94 (極座標におけるラプラシアン)   関数 $ z=f(x,y)$ に対して関数

$\displaystyle F(x,y)= \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = z_{xx}+z_{yy}$    

を考える. この関数を極座標 $ r\theta$ で表す. (○)より,

$\displaystyle z_{xx}$ $\displaystyle =\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial x}\f...
...l}{\partial r}- \frac{1}{r} \sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta} \right)z$    
  $\displaystyle = \left( \cos\theta\frac{\partial}{\partial r}- \frac{1}{r} \sin\...
...al \theta} \right) \left(\cos\theta\,z_r-\frac{1}{r}\sin\theta\,z_\theta\right)$    
  $\displaystyle = \cos\theta\frac{\partial}{\partial r} \left(\cos\theta\,z_r-\fr...
...}{\partial \theta} \left(\cos\theta\,z_r-\frac{1}{r}\sin\theta\,z_\theta\right)$    
  $\displaystyle = \cos\theta \left(\cos\theta\,z_{rr}- \sin\theta\left( -\frac{1}...
...c{1}{r}\left( \cos\theta\,z_\theta+ \sin\theta\,z_{\theta\theta} \right)\right)$    
  $\displaystyle = \cos^2\theta\,z_{rr} +\frac{1}{r^2}\sin^2\theta\,z_{\theta\thet...
...} +\frac{1}{r}\sin^2\theta\,z_r +\frac{2}{r^2}\sin\theta\cos\theta\,z_{\theta},$    
$\displaystyle z_{yy}$ $\displaystyle = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}= \frac{\partial}{\partial y}\...
...l}{\partial r}+ \frac{1}{r} \cos\theta\frac{\partial}{\partial \theta} \right)z$    
  $\displaystyle = \left( \sin\theta\frac{\partial}{\partial r}+ \frac{1}{r} \cos\...
...theta} \right) \left(\sin\theta\,z_{r}+\frac{1}{r}\cos\theta\,z_{\theta}\right)$    
  $\displaystyle = \sin\theta\frac{\partial}{\partial r} \left(\sin\theta\,z_{r}+\...
...artial \theta} \left(\sin\theta\,z_{r}+\frac{1}{r}\cos\theta\,z_{\theta}\right)$    
  $\displaystyle = \sin\theta \left(\sin\theta\,z_{rr} +\cos\theta \left( -\frac{1...
...{r} \left( -\sin\theta\,z_{\theta} +\cos\theta\,z_{\theta\theta} \right)\right)$    
  $\displaystyle = \sin^2\theta\,z_{rr} +\frac{1}{r^2}\cos^2\theta\,z_{\theta\thet...
... +\frac{1}{r}\cos^2\theta\,z_{r} -\frac{2}{r^2}\sin\theta\cos\theta\,z_{\theta}$    

となる. よって

$\displaystyle F$ $\displaystyle =z_{xx}+z_{yy}= \frac{\partial^2}{\partial x^2}f+\frac{\partial^2...
...heta+\sin^2\theta)z_{\theta\theta}+ \frac{1}{r}(\cos^2\theta+\sin^2\theta)z_{r}$    
  $\displaystyle =z_{rr}+\frac{1}{r^2}z_{\theta\theta}+\frac{1}{r}z_{r}= \frac{\pa...
...frac{\partial^2 z}{\partial \theta^2}+ \frac{1}{r}\frac{\partial z}{\partial r}$    

を得る.

2.95 (極座標におけるラプラシアン)   ラプラス演算子

$\displaystyle \triangle$ $\displaystyle = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}$    

を座標 $ r\theta$ で表す. 前例題より

$\displaystyle F= \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 z}{\partia...
...\partial^2}{\partial \theta^2}+ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \right)z$    

が成り立つ.関数 $ z$ は任意であるから,

$\displaystyle \triangle$ $\displaystyle = \frac{\partial^2}{\partial r^2}+ \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}$    

を得る.

Kondo Koichi
平成18年1月18日