2.22 2 次元空間の極座標
定義 2.88 (極座標) 2 次元空間において, 直交座標から 極座標(polar coordinates)
への 座標変換は
☆
で与えられる.
注意 2.89 (極座標) 極座標から 直交座標
への座標変換は
★
と表される.
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例 2.90 (極座標のヤコビアン) 座標変換(☆)より
となるらか,ヤコビアンは
と得られる.
例 2.91 (極座標における偏微分作用素の変換) 座標から極座標
への変換(☆)を考える. 関数
を
,
に関して偏微分すると, 合成関数の微分則より
△
が成り立つ.これは
♭
とも表される. 行列の行列式がヤコビアンである. このとき,
と書くと関数は任意であり省略すると
となる. (★)を用いて右辺の,
を
,
で表すと
となる. これは偏微分作用素における 極座標から座標
への座標変換である. 点に関する座標変換(☆)とは 変換の向きが異なることに注意する.
例 2.92 (極座標における偏微分作用素の変換) 極座標から座標
への変換(★)を考える. 関数
を
,
に関して偏微分すると, (★)と合成関数の微分則より
が成り立つ. さらに(☆)を用いて右辺を,
で表すと
▲
となる. これは
とも表される. この式は(♭)の両辺にを左から掛けることでも 得られる.すなわち,
となる. ここで,
と書くと,関数は任意であり省略すると
○
を得る. これは偏微分作用素における 座標から極座標
への座標変換である. 点に関する座標変換(★)とは 変換の向きが異なることに注意する.
例 2.93 (極座標への座標変換) 関数に対して関数
を考える. この関数を極座標で表す. (▲)を代入すると
を得る.
例 2.94 (極座標におけるラプラシアン) 関数に対して関数
を考える. この関数を極座標で表す. (○)より,
となる. よって
を得る.
例 2.95 (極座標におけるラプラシアン) ラプラス演算子
を座標で表す. 前例題より
が成り立つ.関数は任意であるから,
を得る.
Kondo Koichi
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平成18年1月18日