2.23 3 次元空間の極座標

定義 2.96 (極座標)   3 次元空間において, 直交座標 $ (x,y,z)$ から 極座標(polar coordinates) $ (r,\theta,\varphi)$ への 座標変換は

$\displaystyle x=r\sin\theta\cos\varphi, \qquad y=r\sin\theta\sin\varphi, \qquad z=r\cos\theta$    

で与えられる.

注意 2.97 (極座標)   極座標 $ (r,\theta,\varphi)$ から 直交座標 $ (x,y,z)$ への座標変換は

$\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \qquad \theta=\tan^{-1}\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}, \qquad \varphi=\tan^{-1}\frac{y}{x}$    

と表される.

\includegraphics[width=0.5\textwidth]{polar3.eps}

2.98 (極座標のヤコビアン)  

  $\displaystyle \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}= \begin{vmatri...
...r\sin\theta \\ -r\sin\theta\sin\varphi& r\sin\theta\cos\varphi& 0 \end{vmatrix}$    
  $\displaystyle = \cos\theta \begin{vmatrix}r\cos\theta\cos\varphi& r\cos\theta\s...
...heta\sin\varphi\\ -r\sin\theta\sin\varphi& r\sin\theta\cos\varphi \end{vmatrix}$    
  $\displaystyle = r^2\cos^2\theta\sin\theta \begin{vmatrix}\cos\varphi& \sin\varp...
...egin{vmatrix}\cos\varphi& \sin\varphi\\ -\sin\varphi& \cos\varphi \end{vmatrix}$    
  $\displaystyle = r^2\sin\theta \left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right) (\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)$    
  $\displaystyle = r^2\sin\theta$    

2.99 (極座標における偏微分作用素の変換)  

$\displaystyle \begin{bmatrix}f_r \\ f_\theta \\ f_\varphi \end{bmatrix} = \begi...
...heta\cos\varphi& 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}f_x \\ f_y \\ f_z \end{bmatrix}$    

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2.100 (極座標における偏微分作用素の変換)  

$\displaystyle \begin{bmatrix}f_x \\ f_y \\ f_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\...
...eta & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}f_r \\ f_\theta \\ f_\varphi \end{bmatrix}$    

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2.101 (極座標におけるラプラシアン)  

$\displaystyle \triangle$ $\displaystyle = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2}{\partial z^2}$    
  $\displaystyle = \frac{\partial^2}{\partial r^2}+ \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2...
...\partial}{\partial r}+ \frac{1}{r^2\tan\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}$    

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Kondo Koichi
平成18年1月18日