1.8
における直線の方程式
注意 1.37 (の直線の方程式) 直線
を考える. このとき
(44)
とおく.の直線の方程式は
(45)
と表される. この式は 点を通り 方向ベクトルが
であることが 分かり易い形である.
式変形をする.
,
,
とおく. すると
(46)
であり,または
(47)
となる. この式はを用いると
(48)
とも表される.であるから, ベクトル
は
を満たす. すなわち
は方向ベクトル
と直交する. 方向ベクトルと直交するベクトルを 法線ベクトル(normal vector)という.
さらに式変形する.
とおく. すると
(49)
と表される. この式はは
についての
次関数であることと, 直線は点
を通り 傾きが
であることが分かり易い形である.
注意 1.38 (の直線の方程式)
の直線の方程式はいくつかの書き方がある. まず,
(50)
と書くとき,は 方向ベクトルを表す.
(51)
と書くときでは,は傾きを
は
切片をそれぞれ表す.
(52)
と書くときは,は 法線ベクトルを表す.
(53)
と書けば,は
切片を
は
切片をそれぞれ表す.
例 1.39 (の直線の方程式の具体例) 点
,
を通る直線の方程式を考える. まず
(54)
とおく.は方向ベクトルである. 直線の方程式のパラメータ表示は
(55)
である.とおき
を消去すると, 直線の方程式の成分表示は
(56)
であり,変形して
(57)
である.法線ベクトルはである. さらに変形して
(58)
となる.傾きはであり,
切片は
である. さらに変形して
(59)
となる.切片は
であり,
切片は
である.
例 1.40 (の直線の方程式の具体例) 点
,
を通る直線の方程式を考える. 直線の方程式を
(60)
と仮定する. 点,
は直線上にあるので
(61)
が成り立つ. この連立方程式を解くと
(62)
となる.直線の方程式を
(63)
と得る.
注意 1.41 (の直線の方程式) 直線は
点より定まることと 連立方程式の解が一意に定まることとは等価である.
問 1.42 (の直線の方程式) 点
,
を通る直線の方程式を求めよ.
問 1.43 (の直線の方程式) 点
を通り方向ベクトルが
の 直線の方程式を求めよ.
問 1.44 (の直線の方程式) 点
を通り法線ベクトルが
の 直線の方程式を求めよ.
問 1.45 (の直線の方程式) 傾きが
,
切片が
の直線の方程式を求めよ.
問 1.46 (の直線の方程式)
切片が
,
切片が
の直線の方程式を求めよ.
Kondo Koichi
![]()
![]()
平成17年9月15日