1.23 $ \mathbb{R}^2$ における点と直線との距離

定理 1.112 ( $ \mathbb{R}^2$ 内の点と直線の距離)   $ \mathbb{R}^2$ 空間内の点 $ A(x_{0},y_{0})$ と 直線 $ ax+by+c=0$ との距離は

$\displaystyle \frac{\vert ax_{0}+by_{0}+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}$ (175)

である.

1.113 ( $ \mathbb{R}^2$ 内の点と直線の距離)   これを示せ.

(証明) $ \mathbb{R}^2$ 空間を $ \mathbb{R}^3$ 空間内の部分空間として考える. このとき,点 $ A(\vec{a})$ と直線 $ \vec{x}=\vec{q}+t\vec{p}$ を考える.

$\displaystyle \vec{a}= \begin{bmatrix}x_{0} \\ y_{0} \\ 0 \end{bmatrix}\,,\quad...
...b \\ 0 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{p}= \begin{bmatrix}b \\ -a \\ 0 \end{bmatrix}$ (176)

とおくと

  $\displaystyle \vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \begin{vmatrix}b & x_{0} \\ -a & y_{0}+c/b \end{vmatrix} \end{bmatrix}\,,\quad$ (177)
  $\displaystyle \Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert^2= \begin{vmatrix}b & x_{0} \\ -a & y_{0}+c/b \end{vmatrix}^2= (ax_{0}+by_{0}+c)^2\,,\quad$ (178)
  $\displaystyle \Vert\vec{p}\Vert^2=a^2+b^2$ (179)

である.よって距離は

$\displaystyle \frac{\Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert}{\Vert\vec{p}\Vert...
...x_{0}+by_{0}+c)^2}{a^2+b^2}}= \frac{\vert ax_{0}+by_{0}+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}$ (180)

である.

1.114 ( $ \mathbb{R}^2$ 内の点と直線の距離)   点 $ A(2,1)$ と直線 $ x-3y-2=0$ との距離は

$\displaystyle \frac{\vert ax_{0}+by_{0}+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}= \frac{\left\vert 1\cdot2-3\cdot1-2\right\vert}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}= \frac{3}{\sqrt{10}}$ (181)

である.

Kondo Koichi
平成17年9月15日