1.24 平面の方程式

定義 1.115 (平面)   $ \mathbb{R}^n$ 空間内の点 $ X$ の位置ベクトルが

$\displaystyle \vec{x}(t,s)=\vec{q}+t\,\vec{u}+s\,\vec{v}\,,\quad \vec{x},\vec{q},\vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^{n}\,,\quad \forall t, \forall s\in\mathbb{R}$ (182)

と表されるとき, 点 $ X$ の軌跡を平面(plane)という. $ \vec{u}$, $ \vec{v}$方向ベクトル(tangent vector)という.

1.116 (平面の具体例)  

$\displaystyle \vec{e}_{1}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{e}_{2}= \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}\,$ (183)

とおく.このとき平面

$\displaystyle \vec{x}(t,s)=t\vec{e}_{1}+s\vec{e}_{2}= \begin{bmatrix}t \\ s \end{bmatrix}$ (184)

を考える. 位置ベクトル $ \vec{x}(t,s)$ は点 $ (t,s)$ を表す. $ t$, $ s$ は任意の実数なので 点の軌跡は $ \mathbb{R}^2$ 空間全体をなす. よって $ \mathbb{R}^2$ は平面である.

1.117 ( $ \mathbb{R}^3$ の平面の具体例)   点 $ A(1,2,3)$, $ B(2,0,-1)$, $ C(-1,1,2)\in\mathbb{R}^3$ を 通る平面を考える. 点 $ \vec{q}=\overrightarrow{OA}$ を通り 方向ベクトルが $ \vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $ \vec{v}=\overrightarrow{AC}$ の平面と考える.

  $\displaystyle \vec{q}=\overrightarrow{OA}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmat...
...matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ -4 \end{bmatrix}\,,$ (185)
  $\displaystyle \vec{v}=\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{OC}- \overrightarrow...
...{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-2 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$ (186)

とする. 平面の方程式のパラメータ表示

$\displaystyle \vec{x}(t,s)= \vec{q}+t\vec{u}+s\vec{v}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\...
... \\ -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}t-2s+1 \\ -2t-s+2 \\ -4t-s+3 \end{bmatrix}$ (187)

である.

Kondo Koichi
平成17年9月15日