1.25 平面の方程式と法線ベクトル

定理 1.118 (平面の方程式)   $ \mathbb{R}^n$ 空間内の平面上の点 $ X$ の位置ベクトルは

$\displaystyle \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0\,,\qquad \vec{x},\vec{n},\vec{q}\in\mathbb{R}^{n}$ (188)

と表される. $ \vec{n}$ は方向ベクトル $ \vec{u}$, $ \vec{v}$ と 直交するベクトルである. $ \vec{n}$法線ベクトル(normal vector)という.

(証明) ( $ \Rightarrow$ $ \vec{n}\cdot\vec{u}=0$, $ \vec{n}\cdot\vec{v}=0$ である. このとき

$\displaystyle \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})= \vec{n}\cdot(t\vec{u}+s\vec{v})= t(\vec{n}\cdot\vec{u})+ s(\vec{n}\cdot\vec{v})=0$ (189)

が成り立つ.

注意 1.119 ( $ \mathbb{R}^3$ の平面の方程式)   $ \mathbb{R}^3$ 内の平面の方程式は次のように表される. まず,基本は

$\displaystyle ax+by+cz+d=0$ (190)

である. このとき,法線ベクトルは $ \vec{n}={[a\,\,\,b\,\,c]}^{T}$ である. また,この式を変形して

$\displaystyle a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ (191)

と表す.このとき, 法線ベクトルは $ \vec{n}={[a\,\,\,b\,\,c]}^{T}$ であり, 平面は点 $ (x_0,y_0,z_0)$ を通る. さらに変形して,

$\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ (192)

とする.このとき平面と $ x$ 軸,$ y$ 軸,$ z$ 軸との 交点はそれぞれ $ x=a$, $ y=b$, $ z=c$ となる.

1.120 ( $ \mathbb{R}^3$ の平面の方程式の具体例)   $ \mathbb{R}^3$ 内の平面の方程式

$\displaystyle x-2y+3z+4=0$ (193)

を考える. 法線ベクトルは $ \vec{n}={[1\,\,\,-2\,\,3]}^{T}$ である. また,方程式を変形して

$\displaystyle \frac{x}{-4}+ \frac{y}{2}+ \frac{z}{-\frac{4}{3}}=1$ (194)

を得る. 平面は点 $ (-4,0,0)$, $ (0,2,0)$, $ (0,0,-4/3)$ を通る.

Kondo Koichi
平成17年9月15日