1.26 外積を用いて平面の法線ベクトルを導出
注意 1.121 (の平面の方程式)
空間内の平面の方程式を考える. まず,
(195)
とおく.すると方程式
(196)
が成り立つ.,
は任意のパラメータであるから消去して方程式とする. 第一式と第二式の
を消去し
についてまとめると
(197)
が得られる. 他の組合せでも同じ方程式を得る. この方程式は
(198)
とおくとが成り立つ. また,
(199)
と表される. さらにはとおいて変形すれば
(200)
である. これらはの平面の方程式の成分表示である. ベクトル
は
(201) (202)
より,方向ベクトル,
とそれぞれ直交する.
は法線ベクトルである. また, ベクトル
は
により与えられることに注意する.
例 1.122 (の平面の方程式の具体例) 点
,
,
を 通る平面を考える. 点
を通り 方向ベクトルが
,
の平面と考える.
(203)
とする. このとき法線ベクトルは
(204) (205)
である. 平面の方程式の成分表示は
(206)
より
(207)
であるから
(208)
を得る.また変形して
(209)
を得る.
Kondo Koichi
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平成17年9月15日