5.20 対角化と座標変換

線形変換 $ f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$;

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad \vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$    

において, 行列 $ A$ は対角化可能であるとすると,

$\displaystyle D=P^{-1}AP$    

と書ける. 両辺に左から $ P$ を掛け,右からから $ P^{-1}$ を掛けると

$\displaystyle A=PDP^{-1}$    

となる. これを(☆)へ代入すると

$\displaystyle \vec{y}=PDP^{-1}\vec{x} \qquad\Rightarrow\qquad P^{-1}\vec{y}=DP^{-1}\vec{x}$    

となる.ここで

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad \vec{x}'=P^{-1}\vec{x}, \quad \vec{y}'=P^{-1}\vec{y} \qquad\Leftrightarrow\qquad \vec{x}=P\vec{x}', \quad \vec{y}=P\vec{y}'$    

とおくと,

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad \vec{y}'=D\vec{x}'$    

を得る. (♭)は

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 & \cdots & \vec{p}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1' \\ x_2' \\ \vdots \\ x_n' \end{bmatrix}= P\vec{x}'$    
$\displaystyle x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2+\cdots+x_n\vec{e}_n$ $\displaystyle = x_1'\vec{p}_1+x_2'\vec{p}_2+\cdots+x_n'\vec{p}_n$    

と表されるので, (♭)は 標準基底 $ \Sigma=\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n\}$ における座標 $ (x_1,x_2,\cdots,x_n)_{\Sigma}$ と 基底 $ \Sigma'=\{\vec{p}_1,\vec{p}_2,\cdots,\vec{p}_n\}$ における座標 $ (x_1',x_2',\cdots,x_n')_{\Sigma'}$ との 座標変換とみなせる. $ \vec{y}$, $ \vec{y}'$ についても同様である. よって(★)は 固有ベクトル $ \vec{p}_j$ を基底とするあらたな座標系における 線形変換 $ \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n;\vec{x}'\mapsto\vec{y}'$ であり,あらためて成分で書くと

$\displaystyle \begin{bmatrix}y_1' \\ y_2' \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} = \beg...
...ots \\ \lambda_n\,x_n' \end{bmatrix} \quad\Rightarrow\quad y_j'=\lambda_j\,x_j'$    

となる. 各座標 $ x_j$ が独立して, スカラー倍される単純な変換 $ x'_j\mapsto\lambda_jx_j'$ とみなされる.

Kondo Koichi
平成18年1月17日