5.21 演習問題 〜 対角化

問 5.56 (対角化)   次の行列 $A$ を対角化せよ．また $A^k$ を求めよ．

(1) $${ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}$$          (2) $${ \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}}$$          (3) $${ \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}}$$          (4) $${ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}}$$          (5) $${ \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}$$

(6) $${ \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}}$$          (7) $${ \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}}$$          (8) $${ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}}$$          (9) $${ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}}$$          (10) $${ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}$$

(11) $${ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}}$$          (12) $${ \begin{bmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{bmatrix}}$$          (13) $${ \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}}$$          (14) $${ \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}}$$          (15) $${ \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}}$$

(16) $${ \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}}$$          (17) $${ \begin{bmatrix} 1 & i \\ 0 & i \end{bmatrix}}$$          (18) $${ \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 13 & -3 \end{bmatrix}}$$          (19) $${ \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}}$$          (20) $${ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}}$$

(21) $${ \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}}$$          (22) $${ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}}$$          (23) $${ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 3 \end{bmatrix}}$$          (24) $${ \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}}$$

(25) $${ \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}}$$          (26) $${ \begin{bmatrix} -3 & -9 & -12 \\ 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$          (27) $${ \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$          (28) $${ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}}$$

(29) $${ \begin{bmatrix} 0 & i & 1 \\ -i & 0 & i \\ 1 & -i & 0 \end{bmatrix}}$$          (30) $${ \begin{bmatrix} 1 & i & 1 \\ -i & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}}$$          (31) $${ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}}$$          (32) $${ \begin{bmatrix} 7 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix}}$$

(33) $${ \begin{bmatrix} 8 & -3 & -3 \\ -3 & 8 & -3 \\ -3 & -3 & 8 \end{bmatrix}}$$          (34) $${ \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 10 & 2i & 2 \\ -2i & 7 & -i \\ 2 & i & 7 \end{bmatrix}}$$          (35) $${ \begin{bmatrix} 2 & 1+i & -3+3i \\ 1-i & -3 & -i \\ -3-3i & i & 5 \end{bmatrix}}$$

(36) $${ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}}$$          (37) $${ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix}}$$          (38) $${ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}}$$          (39) $${ \begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}}$$

(40) $${ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 2 & -4 \\ 2 & 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 & -1 \end{bmatrix}}$$          (41) $${ \begin{bmatrix} -1 & -1 & -6 & 3 \\ 1 & -2 & -3 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -5 & 3 \end{bmatrix}}$$          (42) $${ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}}$$

Kondo Koichi
平成18年1月17日