2.40 接平面
注意 2.172 (曲面の法線ベクトル) 曲面上の曲線を パラメータ表示して
とおく. このとき,
が成り立つ.両辺をで微分すると
0
となる.ベクトル表記すると
である.は 曲線
の接ベクトルと常に直交する.
曲面
上の点
において, この点を通るあらゆる曲線
を考える. 便宜上
,
,
とおく. あるベクトル
が この曲線の接ベクトル
と常に直交するとする. このとき,
を 曲面
の法線ベクトルという. 曲線の接ベクトル
に 直交するベクトルは
であるから, 法線ベクトルは
である.
定理 2.173 (接平面) 曲面の点
における 接平面(tangent plane)は
で与えられる.ベクトルで表記すると
となる.
注意 2.174 (接平面) グラフの点
における接平面は,
とおき接平面を求めればよい.
,
,
であるか,
となり,接平面は
と表される. この右辺は関数の 点
まわりのテイラー展開の 1 次近似と等しい.
例 2.175 (接平面) 球の点
における 接平面を求める.
より,接平面は
と求まる. 法線ベクトルがの 平面である.
問 2.176 (接平面) 曲面の点
における 接平面を求めよ.
例 2.177 (接平面) 曲面
の点における接平面を求める. まず,
より,接平面は
である. 法線ベクトルがの 平面である.書き直して
とする.軸,
軸との交点は
,
である.
軸とは交点をもたず,
軸と平行な平面である.
例 2.178 (接平面) 関数の点
における接平面は,
より,
と得られる. 接平面を標準形で書くと
である.この平面の法線ベクトルはである. また,
と書き直す. 平面と軸,
軸,
軸の交点は
,
,
である.
Kondo Koichi
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平成19年1月23日