3.13 体積の計算

例 3.62 (球の体積)   半径 $a$ の球の体積は $V=4\pi a^3/3$ である． これを多重積分で求める．

（その 1）     球を 8 等分し底面が

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2\,\, x\ge0,\,\, y\ge0}\,\right\}$$

であり，上面が

$$z=f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$$

の体積

$$V=8\iint_{D}f(x,y)\,dxdy= \iint_{D}\sqrt{a^2-x^2-y^2}\,dxdy$$

として求める． 2 次元の極座標 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ とおくと， 領域 $D$ と等価な領域は

$$E=\left\{\left.\,{(r,\theta)\vrule height1em width0em depth0.1em}\,\,\right\vert\,\,{0\leq r\leq a,\,\, 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}}\,\right\}$$

であり，面積素は $dxdy=rdrd\theta$ となるので，

$$V =8\iint_E\sqrt{a^2-r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta}rdrd\theta= 8\int_{0}^{a}r\sqrt{a^2-r^2}dr\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta$$

$$= 8\left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{2}{3(-2)}... ...a}\,\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}= \frac{8a^3}{3}\frac{\pi}{2}= \frac{4\pi}{3}a^3$$

と得られる．

（その 2）     球を 8 等分し，領域

$$D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2\leq a^2\,\, x\ge0,\,\, y\ge0,\,\,z\ge0}\,\right\}$$

の体積

$$V=8\iiint_{D}dxdydz$$

として求める． 3 次元の極座標 $x=r\sin\theta\cos\varphi$, $y=r\sin\theta\sin\varphi$, $z=r\cos\theta$ とおくと， 領域 $D$ と等価な領域は

$$E=\left\{\left.\,{(r,\theta,\varphi)\vrule height1em width0em dep... ...\,\, 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\,\,, 0\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}}\,\right\}$$

であり，体積素は

$$dxdydz=r^2\sin\theta\,drd\theta d\varphi$$

となるので，

$$V =8\iiint_Er^2\sin\theta\,drd\theta d\varphi= 8 \int_0^a r^2\,dr \... ...ft[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\varphi}\,\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$$

$$= 8\times \frac{a^3}{3}\times 1\times \frac{\pi}{2}= \frac{4\pi a^3}{3}$$

と得られる．

例 3.63 (円柱の体積)   底面の半径 $a$，高さ $h$ の円柱の体積は $V=\pi a^2h$ である． これを多重積分で求める．

（その 1）     円柱の底面が $xy$ 平面にあるとし，

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$$

とおく．円柱の上面は平面 $z=f(x,y)=h$ である． 円柱の体積は

$$V = \iint_{D} f(x,y)\,dxdy= \iint_{D} h\,dxdy= h\iint_{D}dxdy= h\iint_{E}r\,drd\theta= h\int_0^ar\,dr\int_0^{2\pi}d\theta$$

$$= h\left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{r^2}{2}}\... ...eft[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\theta}\,\right]_0^{2\pi}=\pi a^2h$$

と求まる． ただし，

$$E=\left\{\left.\,{(r,\theta)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq r\leq a,\,\, 0\leq\theta\leq2\pi}\,\right\}$$

とする．

（その 2）     円柱の領域は

$$D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2,\,\,0\leq z\leq h}\,\right\}$$

と表される． この領域を円筒座標 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $z=z$ で置き換えると， $(r,\theta,z)$ の領域は

$$E=\left\{\left.\,{(r,\theta,z)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq r\leq a,\,\, 0\leq\theta\leq2\pi,\,\, 0\leq z\leq h}\,\right\}$$

であり，ヤコビアンは

$$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}= \begin{vmatrix}x_r ... ... \sin\theta & 0 \\ -r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =r$$

であるので，

$$dxdydz=rdrd\theta dz$$

が成り立つ． 円柱の体積は

$$V = \iiint_{D}dxdyz= \iiint_{E}rdrd\theta dz= \int_0^{a}r\,dr\int_0... ...imes \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{z}\,\right]_0^{h}= \pi a^2h$$

と求まる．

例 3.64 (円錐の体積)   底面の半径 $a$，高さ $h$ の円錐の体積は $${V=\frac{1}{3}\pi a^2h}$$ である． これを多重積分で求める． 円錐の底面は $xy$ 平面にあるとし， その領域を

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$$

とおく．$z$ 軸と点 $(x,y,z)$ との距離を $r=\sqrt{x^2+y^2}$ とおくと， 円錐の斜面では図 (b) より，

$$\frac{z}{h}+\frac{r}{a}=1$$

が成り立つ．よって，斜面は

$$z=f(x,y)=h-\frac{h\sqrt{x^2+y^2}}{a}$$

と表される．よって円錐の体積は

$$V =\iint_{D}f(x,y)\,dxdy= h\iint_{D}\left(1-\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{a}\right)\,dxdy= h\iint_{E}\left(1-\frac{r}{a}\right)\,r\,drd\theta$$

$$= h\int_0^a\left(r-\frac{r^2}{a}\right)dr\int_0^{2\pi}d\theta= h\... ...ight1.5em width0em depth0.1em\,{\theta}\,\right]_0^{2\pi} = \frac{1}{3}\pi a^2h$$

と求まる． ただし，極座標変換を用いて

$$E=\left\{\left.\,{(r,\theta)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq r\leq a,\,\, 0\leq\theta\leq2\pi}\,\right\}$$

とした．

問 3.65 (円錐の体積)   円錐の体積を

$$V=\iiint_{D}dxdydz, \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\v... ...y^2\leq a^2,\,\,0\leq z\leq h\left(1-\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{a}\right)}\,\right\}$$

により求めよ．

(a) 円錐	(b) $z=f(x,y)$

例 3.66 (体積の計算)   半球

$$S=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2\leq a^2,\,\,z\ge0}\,\right\}$$

と無限にのびる円柱

$$C=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq ax}\,\right\}$$

の共通部分 $A=S\cap C$ の体積 $V$ を求める． 領域 $A$ は

$$A=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{z\geq0,\,\, x^2+y^2+z^2\leq a^2,\,\,x^2+y^2\leq ax}\,\right\}$$

と表される． 領域 $A$ は底面の領域を

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq ax}\,\right\}$$

とする曲面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ の体積であるから， $A$ の体積 $V$ は

$$V =\iint_{D}\sqrt{a^2-x^2-y^2}\,dxdy= \iint_{E}r\sqrt{a^2-r^2}\,drd... ...i}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{0}^{a\cos\theta}\!\!\!\!r\sqrt{a^2-r^2}\,dr$$

$$= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \left[\vrule heigh... ...^3)\,d\theta= \frac{2a^3}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\sin^3\theta)\,d\theta$$

$$= \frac{2a^3}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\sin\theta+\sin\thet... ...3\theta}\,\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{\pi}{3}-\frac{4}{9}\right)a^3$$

と求まる． ここで 2 次元の極座標 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ を用いた． 領域は $E$ は領域 $D$ と等価な領域で

$$E=\left\{\left.\,{(r,\theta)\vrule height1em width0em depth0.1em}... ...frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2},\,\, 0\leq r\leq a\cos\theta}\,\right\}$$

である．

(a) $A=S\cap C$	(b) 領域 $D$

例 3.67 (体積の計算)   球

$$S=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2\leq 4a^2}\,\right\}$$

と円柱

$$C=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$$

の共通部分 $S\cap C$ を球 $S$ から取り除いた領域 $A=S-S\cap C$ の体積 $V$ を求める． 領域 $A$ を 8 等分して体積を

$$V=8\iint_D\sqrt{4a^2-x^2-y^2}\,dxdy, \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{ a^2\leq x^2+y^2\leq4a^2,\,\,x\ge0,\,\,y\ge0}\,\right\}$$

により求める． 2 次元の極座標変換をすると底面の領域 $D$ は

$$E=\left\{\left.\,{(x,y)\vrule height1em width0em depth0.1em}\,\,\right\vert\,\,{a\leq r\leq2a,\,\,0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}}\,\right\}$$

であり，体積は

$$V =8\iint_{E}r\sqrt{4a^2-r^2}\,drd\theta= 8\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{a}^{2a}r\sqrt{4a^2-r^2}\,dr$$

$$=8 \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\theta}\,\right... ...}}}\,\right]_{a}^{2a}= 8\frac{\pi}{2}\frac{(\sqrt{3}a)^3}{3} = 4\sqrt{3}\pi a^3$$

と求まる．

例 3.68 (体積の計算)   領域

$$C=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x\ge0,\,x^2+y^2\le a^2,\,0\le z\le x}\,\right\}$$

の体積を求める． この領域の $xy$ 平面の底面の領域は

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x\ge 0,\,x^2+y^2\le a^2}\,\right\}$$

であり，上面は平面となり， $z=f(x,y)=x$ で表される． よって，体積は

$$V =\iint_{D}x\,dxdy= \iint_{E}r\cos\theta\,rdrd\theta= \int_{0}^{a}r^2dr\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta d\theta$$

$$=\left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{r^3}{3}}\,\... ...th0.1em\,{\sin\theta}\,\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}= \frac{2a^3}{3}$$

と得られる．

問 3.69 (体積の計算)   2 つの円柱

$$C_1=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+z^2\leq a^2}\... ...quad C_2=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{y^2+z^2\leq a^2}\,\right\}$$

の共通部分 $A=C_1\cap C_2$ の体積 $V$ を求めよ．

Kondo Koichi
平成19年1月23日