1.34 点の平面への正射影
定義 1.162 (点の平面への射影)空間内の点
と平面を考える. 点
から平面へ垂線を下ろしたときの足
を正射影という. 点
から点
への変換を射影変換という.
注意 1.163 (点の平面への射影) 点から平面
(223)
への射影点を考える. 点
から平面への垂線は平面と直交する. よって垂線の方向ベクトルと平面の法線ベクトル
は等しい. 垂線は点
を通り 方向ベクトルが
であるので, 垂線の方程式は
(224)
と表される. 垂線と平面の交点が射影点である. 交点
を求める. 垂線の方程式を平面の方程式に代入すると
(225)
であり,についてまとめると
(226)
が成り立つ. これを垂線の方程式に代入し,交点
(227)
を得る.
例 1.164 (点の平面への射影) 点の平面
への射影点
を考える. 平面の法線ベクトルは
であるから, 点
を通り平面に垂直な直線の方程式は
(228)
となる. パラメータ表示すると
(229)
である. これを平面の方程式に代入すると
(230)
よりを得る. これを垂線の方程式に代入すると
(231)
であり,射影点を得る.
Kondo Koichi
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KONDO Koichi
平成19年1月25日