1.5 ベクトルの成分

定義 1.22 (ベクトルの成分) ベクトル $\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}$ が

$\displaystyle \vec{x}$

$\displaystyle = x_{1}\vec{e}_{1}+ x_{2}\vec{e}_{2}+ \cdots x_{n}\vec{e}_{n}$

(17)

と表されるとき，係数の組 $(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$ を基本ベクトル $\{\vec{e}_{1}$ , $\vec{e}_{2}$ , $\cdots$ , $\vec{e}_{n}\}$ に関するベクトル $\vec{x}$ の 成分（component）または 座標（coordinate）という．

また， $\mathbb{R}^{n}$ の基底（basis） （座標軸と同じ向きのベクトル） $\vec{u}_{1}$ , $\vec{u}_{2}$ , $\cdots$ , $\vec{u}_{n}$ が与えられているとする．ベクトル $\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}$ が

$\displaystyle \vec{x}$

$\displaystyle = y_{1}\vec{u}_{1}+ y_{2}\vec{u}_{2}+ \cdots y_{n}\vec{u}_{n}$

(18)

と表されるとき，係数の組 $(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n})$ を基底 $\{\vec{u}_{1}$ , $\vec{u}_{2}$ , $\cdots$ , $\vec{u}_{n}\}$ に関するベクトル $\vec{x}$ の 成分（component）または 座標（coordinate）という．

例 1.23 (ベクトルの成分の具体例) $\mathbb{R}^{2}$ 空間とその中の点

$\displaystyle \vec{c}_{1}=2\vec{a}+\vec{b}\,,\quad \vec{c}_{2}=3\vec{a}-\vec{b}\,,\quad \vec{c}_{3}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}\quad \in\mathbb{R}^{2}$

(19)

を考える．ただし， $\vec{a}$ , $\vec{b}$ は基底であり，

$\displaystyle \Sigma'= \left\{\vec{a},\vec{b}\right\}= \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$

(20)

とする．このとき

$\displaystyle \vec{c}_{1}$	$\displaystyle = \begin{bmatrix}4 \\ -1 \end{bmatrix}= 4\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}\,,$	(21)
$\displaystyle \vec{c}_{2}$	$\displaystyle = \begin{bmatrix}1 \\ -4 \end{bmatrix}= \vec{e}_{1}-4\vec{e}_{2}\,,$	(22)
$\displaystyle \vec{c}_{3}$	$\displaystyle = \begin{bmatrix}\alpha+2\beta \\ -\alpha+\beta \end{bmatrix}= (\alpha+2\beta)\vec{e}_{1}+ (-\alpha+\beta)\vec{e}_{2}$	(23)

が成り立つ．ベクトル $\vec{c}_{1}$ , $\vec{c}_{2}$ , $\vec{c}_{3}$ の基本ベクトル

$\displaystyle \Sigma= \{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2}\}= \left\{ \begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\ 1 \end{bmatrix} \right\}$

(24)

に関する成分はそれぞれ $(4,-1)_{\Sigma}$ , $(1,-4)_{\Sigma}$ , $(\alpha+2\beta,-\alpha+\beta)_{\Sigma}$ である．ベクトル $\vec{c}_{1}$ , $\vec{c}_{2}$ , $\vec{c}_{3}$ の基底 $\{\vec{a}$ , $\vec{b}\}$ に関する成分はそれぞれ $(2,1)_{\Sigma'}$ , $(2,-1)_{\Sigma'}$ , $(\alpha,\beta)_{\Sigma'}$ である．

これは次のように考える． $\mathbb{R}^{2}$ の座標軸を $x_{1}x_{2}$ とする．これとは別の座標軸として $y_{1}y_{2}$ を導入する．原点を通り $\vec{a}$ と同じ向きの座標軸を $y_{1}$ とし，同様に $\vec{b}$ と同じ向きの座標軸を $y_{2}$ とする．座標軸 $y_{1}$ , $y_{2}$ の目盛はそれぞれ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ の長さをとして書く．このとき点 $C_{1}(\vec{c}_{1})$ , $C_{2}(\vec{c}_{2})$ , $C_{3}(\vec{c}_{3})$ は座標軸 $y_{1}y_{2}$ 上の座標で表すとそれぞれ $(2,1)_{\Sigma'}$ , $(2,-1)_{\Sigma'}$ , $(\alpha,\beta)_{\Sigma'}$ となる．