5.16 オイラーの関係式

注意 5.38 (三角関数と指数関数)   三角関数と指数関数は

$$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\,,\quad \cos x=\frac{e^{ix}+e^{^ix}}{2}$$

の関係にある． これをオイラーの関係式という． ここで $e^{\pm ix}$ は複素指数関数である． 複素指数関数は複素数 $z=x+iy$ に対して

$$e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}= 1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3!}+\cdots+\frac{z^n}{n!}+\cdots$$

と定義される． 右辺は複素べき級数である． この定義より関係式が自然に導出される． このとき $x=0$ とし $z=iy$ とおく． すると

$$e^{iy}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\,y)^{n}}{n!} = 1+iy+i^2\frac{y^2}{2}+i^3\frac{y^3}{3!}+ i^4\frac{y^4}{4!}+ i^5\frac{y^5}{5!}+ i^6\frac{y^6}{6!}+ \cdots$$

$$= 1+iy-\frac{y^2}{2}-i\frac{y^3}{3!}+ \frac{y^4}{4!}+ i\frac{y^5}{5!} -\frac{y^6}{6!}+ \cdots$$

$$= \left( 1 -\frac{y^2}{2} +\frac{y^4}{4!} -\frac{y^6}{6!}+\cdots\right) +i\left(y -\frac{y^3}{3!} +\frac{y^5}{5!} \cdots\right)$$

$$= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-2}}{(2n-2)!} +i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}$$

$$=\cos y+i\sin y$$

を得る． 同様に $z=-iy$ とおくと

$$e^{-iy} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-i\,y)^{n}}{n!}$$

$$= 1+i(-y)+i^2\frac{(-y)^2}{2}+i^3\frac{(-y)^3}{3!}+ i^4\frac{(-y)^4}{4!}+ i^5\frac{(-y)^5}{5!}+ i^6\frac{(-y)^6}{6!}+ \cdots$$

$$= 1+i(-y)-\frac{(-y)^2}{2}-i\frac{(-y)^3}{3!}+ \frac{(-y)^4}{4!}+ i\frac{(-y)^5}{5!} -\frac{(-y)^6}{6!}+ \cdots$$

$$= \left( 1 -\frac{(-y)^2}{2} +\frac{(-y)^4}{4!} -\frac{(-y)^6}{6!}+\cdots\right) +i\left((-y) -\frac{(-y)^3}{3!} +\frac{(-y)^5}{5!} \cdots\right)$$

$$= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(-1)^{2n-2}y^{2n-2}}{(2n-2)!} +i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(-1)^{2n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}$$

$$= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-2}}{(2n-2)!} -i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}$$

$$=\cos y-i\sin y$$

を得る． $y$ を $x$ に置き換えることで，最初の関係式を得る．

平成19年10月3日